Wyjaśnione rozwinięcie szeregu potęgowego funkcji

instagram viewer

Wiele funkcji można przekształcić w szereg potęgowy poprzez odpowiednią transformację. Ale jak to dokładnie działa i co należy wziąć pod uwagę? Zobaczysz, że rozszerzenie szeregu potęgowego nie jest takie trudne, jeśli będziesz postępować zgodnie z pewnym schematem i sam go wyprowadzisz.

Rozwój funkcji w serii Mac Laurin

Oczywiście nie każdą dowolną funkcję można rozwinąć w szereg potęgowy. Funkcja musi raczej spełniać określone kryteria, aby w ogóle można było użyć tego procesu. Tak dobre, jak wszystkie proste Funkcjektóre spotykasz w życiu codziennym spełniają te kryteria, ten krok jest tutaj po prostu pominięty. Jednak natychmiast zobaczysz, że rozważana funkcja musi być w każdym przypadku różniczkowalna tak często, jak jest to wymagane (warunek konieczny).

  1. Załóżmy, że dowolna funkcja f może być jednoznacznie rozszerzona do pewnego szeregu potęgowego. Wtedy ta funkcja może być reprezentowana jako funkcja potęgowa. Obowiązuje co następuje: f (x) = a0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+...
  2. Najpierw punkt rozwoju x 0 = 0 brane pod uwagę. W środowisku wokół tego punktu rozwoju funkcja musi być różniczkowalna tak często, jak jest to wymagane.
  3. Teraz możesz Pochodne funkcji. f '(x) = a1+ 2a2x1+ 3a3x2+ 4a4x3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3x1+ 12a4x2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. W punkcie rozwoju x0 = 0 wtedy: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Oblicz ekstrema - tak to się robi z wielomianami

    Oblicz ekstrema wielomianu i podaj względne maksimum i minimum ...

  5. Jeśli przyjrzysz się uważnie współczynnikom, zauważysz, że zachowują się one jak silnia (mamy (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... a dodatkowo (0!) = 1).
  6. Pamiętaj o tym podczas tworzenia funkcji, otrzymujesz f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Jeśli teraz zmienisz zgodnie ze współczynnikami, otrzymasz a0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Możesz zobaczyć współczynniki an przestrzegać Ustawy o oświacie an = f(n)(0)/n!
  9. Możesz teraz przenieść swoje nowe wyniki do funkcji wyjściowej f, więc f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X ma zastosowanie1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [F(n)(0) / n!] Xn. Ta nieskończona seria nazywa się serią Mac Laurin.
  10. Co ci teraz przynoszą te informacje? W przypadku dowolnej funkcji, którą można rozwinąć w funkcję potęgową, wystarczy wyznaczyć pochodne i przedstawić tę funkcję jako szereg nieskończony.

Przykład: rozwinięcie szeregu potęgowego f (x) = sin (x)

Najlepszym sposobem zrozumienia powyższego schematu jest od razu zastosowanie go do prostego przykładu. Aby to zrobić, rozważ funkcję f (x) = sin (x). Jak wiadomo, funkcję tę można różnicować dowolną ilość razy.

  1. Najpierw określ pierwsze cztery odprowadzenia. Obowiązuje następująca zasada: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Odtąd wszystko powtarza się w cyklu czterech.
  2. Rozważmy teraz punkt rozwoju x0 = 0, następnie f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Teraz wstaw pochodne do serii Mac Laurin. f(x) =n = 0 [F(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5!+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. Otrzymujesz więc szereg przemienny, którego zbieżność możesz udowodnić na przykład za pomocą kryterium Leibniza. Co drugi element serii jest pomijany, ponieważ grzech (0) = 0. Szereg potęgowy cosinusa można wyznaczyć całkowicie analogicznie (rozwiązanie: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

Przykład: Rozszerzenie f (x) = ex w serię mocy

  1. Rozwój ex do serii mocy jest szczególnie łatwe. Mamy f(x) = f(n)(x) = ex ∀ n∈N.
  2. Jeśli będziesz postępować według tego samego schematu, otrzymasz z powodu f(n)(0) = e0 = 1 kolejny wiersz: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

Od serii Mac Laurin do serii Taylor

W serii Mac Laurin masz tylko specjalny punkt rozwoju x0 = 0 brane pod uwagę. W kolejnym kroku to ograniczenie powinno zostać zniesione i należy wziąć pod uwagę dowolny punkt rozwoju x = x *.

  • Zasadniczo bierzesz pod uwagę te same rozważania, co przy wyprowadzaniu serii Mac Laurin.
  • Otrzymasz szereg potęgowy f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [F(n)(x *) / n!] (x-x *)n z x * jako punktem rozwoju.

Dla x * = 0 szereg Taylora zamienia się w szereg Mac Laurina. Seria Mac Laurin to szczególny przypadek serii Taylor. W praktyce seria Taylora jest znacznie bardziej rozpowszechniona niż seria Mac Laurin, ponieważ możliwe jest dowolne centrum rozwoju. Jednak dla lepszego zrozumienia i wyprowadzenia warto najpierw przyjrzeć się prostszej odmianie serii.

click fraud protection