De wet van de grote getallen eenvoudig uitgelegd

Inleiding tot de wet van de grote getallen

De wet van de grote Tellen De gemakkelijkste manier om het te begrijpen, is door een bijzonder eenvoudig voorbeeld te gebruiken. Bij een eenvoudige dobbelsteenworp met een eerlijke dobbelsteen zijn er zes verschillende uitkomsten (de nummers 1 tot en met 6), die allemaal dezelfde kans hebben. Bijvoorbeeld, P ("6 gegooid") = 1/6. Maar wat heeft dit te maken met de wet van de grote getallen?

• Stel dat je dit willekeurige experiment 100 keer onder dezelfde omstandigheden uitvoert en een telling maakt Hoe vaak de getallen 1 t/m 6 voorkwamen, dan heb je op deze manier de absolute frequenties bepaald. Als je dit in verhouding zet tot het aantal dobbelstenen, krijg je de relatieve frequenties. Als je 100 worpen hebt, b.v. B. Als de zes 20 keer zou worden gegooid, zou de relatieve frequentie van de zes 20/100 = 1/5 zijn. De werkelijke kans op het gooien van een zes is niet 1/5, maar 1/6.
  instagram viewer
• De wet van de grote getallen stelt nu dat hoe vaker je het willekeurige experiment onder dezelfde doet Herhaalde omstandigheden, hoe dichter de relatieve frequentie van de willekeurige uitkomst de benadert Waarschijnlijkheid bij. Daartussenin kan de relatieve frequentie natuurlijk ook verder afwijken van de kans als je in het voorbeeld van de dobbelsteenworp in de tussentijd bijvoorbeeld 6 100 keer achter elkaar hebt geslagen gooi de dobbelstenen. Op de lange termijn zullen de twee maten echter convergeren.
• Je moet deze wet niet interpreteren door bij roulette op rood in te zetten, alleen omdat de laatste 10 rondes altijd zwart waren. Zelfs als het nummer 25 tot nu toe het vaakst is getrokken in de "6 van de 49" loterij, betekent dit niet dat dit nummer in de toekomst minder vaak zal worden getrokken! Ook bij poker moet je niet zomaar een flushdraw op de flop "all-inn" alleen omdat je de Flush sloeg de laatste vijf all-ins niet na de flop en ja, hij komt op een gegeven moment moet". De willekeurige experimenten zijn onafhankelijk van elkaar en de verschillende resultaten zijn altijd even waarschijnlijk. Of kortom: wat in het verleden was, heeft geen effect op de toekomst.
• Deze wet is in de wiskunde verdeeld in een zwakke wet voor grote aantallen en een sterke wet voor grote aantallen.


Kansberekening - zo werkt het

De kansberekening is een van die soorten wiskunde die men ...

Wiskundige verklaring van de sterke en zwakke wet

• In de zwakke wet van de grote getallen heb je Y_l met i∈N gegeven als reële stochastische variabelen die allemaal dezelfde verwachting µ hebben. Bovendien zijn twee verschillende willekeurige variabelen ongecorreleerd. Nu bepaal je het rekenkundig gemiddelde van n van deze willekeurige variabelen, dus je krijgt Y_N'= (Y₁+ Ja₂+... + Ja_N) / N. Vorm nu de limiet voor n richting oneindig, dan voor alle ε> 0: lim_n-> P (| Ja_N'-µ | N')_n∈N convergeert stochastisch naar µ met toenemende steekproefomvang N.
• Met de sterke wet van de grote getallen gaf je dezelfde startwaarden. Nu echter P (lim_N->∞ Y_N'=µ) = 1. De sterke wet van de grote getallen is dus nog enger geformuleerd, het impliceert zelfs de zwakke wet van de grote getallen (als de grote wet wordt vervuld, wordt ook de kleine wet vervuld. Het omgekeerde geldt echter niet).

Zoals u kunt zien, is de wet van de grote getallen een fundamentele bouwsteen van de statistieken en onmisbaar. In de natuurkunde Zo speelt de wet van de grote getallen een belangrijke rol. Heeft u te maken met een enorm aantal metingen die steeds opnieuw moeten worden uitgevoerd onder dezelfde omstandigheden en afwijkingen? Valt het meetresultaat altijd significant naar boven, dan is de kans groot dat er sprake is van een systematische fout is aanwezig.