Dari batang pohon silindris ...
"Dari batang pohon silindris ..." memulai masalah nilai ekstrem yang terkenal yang harus Anda selesaikan dengan bantuan kalkulus diferensial. Tapi bagaimana Anda bisa melanjutkan di sini?
Apa masalah nilai ekstrim?
Terlepas dari apakah Anda menyebut tugas semacam ini sebagai tugas nilai ekstrem, penghitungan nilai maksimum, atau sekadar masalah pengoptimalan, Anda harus selalu diberikan fakta ukuran - baik itu luas, volume atau aliran atau kapasitas beban - sebesar mungkin, yaitu maksimum akan. Prinsip prosedurnya selalu sama:
- Dalam kebanyakan kasus, Anda harus membuat sketsa singkat tugas untuk mendapatkan gambaran umum. Tergantung pada situasinya, Anda dapat memasukkan panjang atau ukuran lain di sana.
- Sekarang atur apa yang disebut. Fungsi objektif aktif, yaitu ukuran yang harus maksimal (atau terkadang juga minimal) dalam tugas. Ini bisa, misalnya, menjadi luas, volume atau sudut menjadi. Baca teks dengan cermat.
- Fungsi objektif ini biasanya berisi lebih dari satu yang tidak diketahui, secara umum ada dua nilai yang menjadi sandarannya, misalnya lebar dan panjang permukaan.
- Untuk mengganti salah satu dari dua yang tidak diketahui ini, Anda harus mengekstrak apa yang disebut Merumuskan kondisi sekunder. Di sini, bisa dikatakan, yang diberikan masuk. Ini bisa berupa radius, ketinggian, atau bahkan area tertentu. Di sini juga, Anda harus memperhatikan tugas dengan cermat, karena kondisi sekunder sering kali dihasilkan dari ukuran dalam gambar, seperti pada contoh di bawah ini.
- Sekarang selesaikan kendala untuk salah satu dari dua yang tidak diketahui. Pilih ukuran yang lebih mudah dihitung.
- Anda sekarang memasukkan variabel ini ke dalam fungsi tujuan, yang kemudian hanya bergantung pada satu yang tidak diketahui (Anda dapat dengan yakin menyebutnya "x").
- Untuk fungsi tujuan ini Anda mencari nilai maksimum atau, secara umum, nilai ekstrim (s) - karena itu turunannya harus dibentuk.
- Turunkan fungsi tujuan menurut yang tidak diketahui dan tetapkan turunannya = 0, kondisi untuk nilai ekstrim.
- Hitung yang tidak diketahui dari persamaan ini. Jika Anda memiliki beberapa solusi, Anda masih harus memeriksa apakah sebenarnya ada maksimum (atau minimal) adalah (2. Turunan).
- Dalam banyak tugas, yang tidak diketahui lainnya juga harus ditentukan. Anda tahu persamaan untuk ini dari kondisi sekunder.
Fungsi rasional adalah mata pelajaran matematika sekolah, kebanyakan di kelas 11. Tahun ajaran. NS …
"Dari log silinder" - sebuah contoh
Dari batang pohon berbentuk silinder (memiliki penampang melingkar) dengan diameter d = 30 cm balok dengan penampang persegi panjang harus digergaji sedemikian rupa sehingga memiliki daya dukung beban setinggi mungkin Memiliki.
- Pertama-tama, buat gambar di mana Anda juga menggambar diameter batang dan persegi panjang. Omong-omong, Anda tidak memerlukan representasi tiga dimensi di sini; potongan melintang balok sudah cukup.
- Sekarang tunjukkan, misalnya, lebar penampang dengan x dan tinggi persegi panjang yang digambar dengan y. Anda dapat melihat bahwa diameter d harus diagonal dalam persegi panjang ini (ingat baik-baik!).
- Kapasitas dukung beban sekarang sebanding dengan lebar (x) dan kuadrat tinggi (y²). Anda dapat membaca tentang ini di Internet atau di buku teknis (sayangnya, "tebing" dalam tugas ini!).
- Daya dukung beban ini harus maksimal, jadi itu adalah fungsi tujuan Anda dan bisa dengan T (x, y) = x * y² (Anda dapat dengan aman menghilangkan faktor proporsionalitas yang diperlukan).
- Sekarang Anda memerlukan kondisi sekunder, yang mencakup ukuran yang ditentukan (di sini "d"). Melihat gambar Anda menunjukkan x² + y² = d² (Pythagoras). Dan Anda mendapatkan y² = d² - x². Sekarang masukkan hubungan ini ke dalam fungsi tujuan.
- Anda mendapatkan: T (x) = x * (d²-x²) = d²x-x³; fungsi tujuan hanya bergantung pada "x" yang tidak diketahui dan dapat dibedakan: T '(x) = d² - 3x².
- Anda mencari nilai ekstrim, yaitu d² - 3x² = 0 dan x = d / 3 = 30 cm / 3 17,32 cm (2 tempat di belakang titik desimal cukup di sini), lebar penampang. Anda tidak perlu memperhatikan akar negatif di sini.
- Anda mendapatkan tinggi y dari y² = d² - x² ke y = 24,5 cm. Tugas terpecahkan!
Anda harus melihat sebuah persegi panjang dengan lebar 17,32 cm dan tinggi 24,5 cm dari batang pohon yang berbentuk silinder.
