Линейна независимост от функциите

Функциите също могат да бъдат линейно независими

В допълнение към познатите ви вектори на дву- или триизмерно пространство, има и други множества, които отговарят на условията на векторно пространство. Примерите са непрекъснати Функции над реалното Преброяване Р. (Не е задължително да знаете какви са условията за векторно пространство, за да разберете това по -нататък.)

• Във функционален контекст линейната независимост означава, че множеството от функции f_i изгражда или пълна подгрупа от това. С други думи: Всяка функция, колкото и произволна да е, може да се използва като линейна комбинация от тези основни функции f_i представляват.
• Точно както можете да изследвате набор от вектори за линейна независимост, можете да направите същото с набор от функции. Просто казано, набор от функции f_i след това линейно независими, ако не можете да представите някоя от тези функции като линейна комбинация от другите функции.
  instagram viewer
• Математически, за линейна независимост се счита, че уравнението ∑ a_i * f_i = 0 може да бъде изпълнено само ако всички (!) Реални коефициенти a_i = 0. Този последен математически израз е също критерий за изпитване за набора от функции f_i. Така че в крайна сметка, точно както при векторите, трябва да намерите уравнение с неизвестните a_i разследвайте.

Линейна независимост - примери

• Пример, често избран за набор от непрекъснати функции над R, които са линейно независими, е f₁(x) = x², f₂(x) = e^х и f₃(x) = e^-х. Дори предварителното обсъждане показва, че никоя от тези три функции не може да бъде изразена от останалите две. Грубо казано, дадените функции са твърде различни. Също така уравнението а₁x² + a₂д^х * а₃д^-х = 0 може да се реши само ако всички коефициенти a_i = 0.


Линейна комбинация от вектори - обяснява експертът по математика

Сблъсквате се с линейната комбинация от вектори, ако сте в ...

• Двете функции f₁(x) = sin 2x, f₂(X) = sinx * cos x са линейно зависими, защото можете да преобразувате функцията на двойния ъгъл във втората функция с помощта на формула.
• (Безкрайният) набор от функции f_i(x) = xⁱ, където индексът i е числата 0,1,2... между другото, образува линейно независима основа на векторното пространство на напълно рационалните функции. Линейната независимост на f_i може лесно да се види. Така нареченият Определящ фактор на Вронски.