อัลกอริทึมเกาส์เซียนของระบบเชิงเส้นของสมการที่อธิบายโดยสังเขป

สิ่งที่คุณต้องการ:

• รูปแบบการแก้ปัญหา
• ความรู้ทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น
• ปากกา
• กระดาษ

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับระบบเชิงเส้นของสมการ

หากคุณแยกคำว่า "ระบบสมการเชิงเส้น" ออกเป็นองค์ประกอบของคำแต่ละคำ คุณก็จะเข้าใจง่ายๆ แล้วว่า LGS คืออะไร

• LGS ประกอบด้วยเส้นตรงหลายตัว สมการซึ่งพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในตอนแรกต่างๆ เกิดขึ้น เชิงเส้นหมายความว่าพารามิเตอร์ไม่อยู่ในใดๆ ศักยภาพ ตามลำดับ ราก เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สมการ x₁+ 2x₂² = 3 ไม่สามารถเป็นส่วนหนึ่งของระบบสมการเชิงเส้นได้ เนื่องจากพารามิเตอร์ x₂ เกิดขึ้นในกำลังที่สอง
• สมการที่แตกต่างกันสามารถตั้งค่าได้โดยการสร้างแบบจำลองหรือกำหนดไว้ในงาน ตัวอย่าง: ในการส่งมอบรถบรรทุกสามส่วน (x₁, NS₂, NS₃) จัดส่งซึ่งราคา p₁ = 1 ยูโร p₂ = 2 ยูโรและ p₃ = มี 3 ยูโร มูลค่ารวมของการส่งมอบคือ 1,000 ยูโร ข้อมูลนี้สามารถสรุปได้ในสมการ 1x
  instagram viewer
  ₁+ 2x₂+ 3x₃ = 1,000 โดยที่ x₁, NS₂ และ x₃ สอดคล้องกับปริมาณที่ไม่รู้จักในขั้นต้นของทั้งสามส่วน
• ด้วยวิธีนี้สามารถตั้งสมการเพิ่มเติมได้ ในตัวอย่างนี้ ข้อกำหนดด้านพื้นที่ของชิ้นส่วนและปริมาตรของรถบรรทุกน่าจะเป็นไปได้
• หลังจากตั้งค่าสมการเชิงเส้นทั้งหมดแล้ว LGS ก็สามารถแก้ไขได้ เช่น การกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก x₁, NS₂ และ x₃. นี่คือจุดเริ่มต้นของอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียน ซึ่งคุณสามารถแก้ปัญหา LGS ทีละขั้นตอนตามรูปแบบที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน


วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ของการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นอธิบายอย่างง่าย

การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นเป็นเรื่องเกี่ยวกับการจัดสรรทรัพยากรที่หายากให้เหมาะสม ...

• มีสามตัวเลือกสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น หากคุณมีประสบการณ์มากกว่านี้เล็กน้อย คุณจะเห็นก่อนที่จะใช้รูปแบบโซลูชันว่า LGS มีโซลูชันหนึ่งวิธี ไม่มี หรือจำนวนไม่จำกัด
• LGS ที่มีสองสมการ x₁+ x₂ = 1 และ x₁+ 2x₂ ตัวอย่างเช่น = 1 ไม่มีคำตอบเพราะสมการทั้งสองไม่สามารถบรรลุได้พร้อมกัน มีทางออกเดียวถ้าจำนวนพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเท่ากับจำนวนสมการ จะไม่มีการขัดแย้งกันและสมการทั้งหมด (แต่ละคู่) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น อันดับของเมทริกซ์ที่เป็นของ LGS จะเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จักพอดี หากอันดับน้อยกว่า มีวิธีแก้ไขมากมายนับไม่ถ้วน (ดูตัวอย่าง)

ตัวอย่างการใช้งานอัลกอริทึมเกาส์เซียน

1. โดยการสร้างแบบจำลองปัญหา คุณมีสมการสามสมการคือ 2x₁+ x₂-3x₃ = 6, x₁-2x₂-NS₃ = 2 และ -4x₁-2x₂+ 6x₃ = -12 ตั้งค่า
2. ตอนนี้เขียนสมการทั้งสามนี้ไว้ด้านล่างอีกอันหนึ่ง เมื่อใช้อัลกอริธึมแบบเกาส์เซียน คุณจะค่อยๆ กำจัดตัวแปรออกไป พวกเขารู้ว่าการแปลงเส้นเบื้องต้นไม่ได้เปลี่ยนพื้นที่ของโซลูชัน
3. ตอนนี้เขียนสมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง คูณสมการที่สองและสามเพื่อให้เมื่อบวกกับแถวแรก สมการใหม่เหล่านี้จะไม่มี x₁ มีมากขึ้น คุณคูณสมการที่สองด้วย -2 (เพราะ x₁ ในสมการที่สองและ 2x₁ ในสมการแรก) และเพิ่มลงในบรรทัดแรก ในทำนองเดียวกัน ให้หารสมการที่สามด้วยสองและเพิ่มลงในสมการแรก
4. ในขั้นตอนต่อไปคุณมีสมการสองสมการที่มีเฉพาะพารามิเตอร์ x₂ และ x₃ ป๊อปอัพ. ตอนนี้ให้เขียนสมการที่สองลงไปแล้วคูณสมการที่สามในลักษณะที่เมื่อบวกเข้ากับสมการที่สองแล้ว x₂ ถูกกำจัด หากคุณมีสมการอื่น ให้ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน
5. ในสมการสุดท้ายคุณมีตัวแปร x. เท่านั้น₃ ที่คุณสามารถกำหนดได้ในตอนนี้ การใส่ผลลัพธ์ลงในสมการอีกสองสมการจะทำให้คุณได้ค่า x₂ และ x₁.
6. อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างนี้ มีกรณีพิเศษอยู่ ในขั้นตอนที่ 3 ถ้าคุณหารสมการที่สามด้วย 2 แล้วบวกมันเข้าไปในสมการแรก คุณจะได้ 0x₁+ 0x₂+ 0x₃ = 0. เหตุผลนั้นง่ายมาก: สมการที่ 1 และสมการที่ 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากสมการที่สามได้มาจากการคูณสมการแรกด้วย -2
7. คุณสามารถขีดฆ่าเส้นศูนย์และรู้ว่าอันดับมีเพียง 2 และ LGS มีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่จำกัด โดยจะต้องไม่มีข้อขัดแย้ง
8. ดังนั้นหลังจากขั้นตอนที่ 3 และ 6 คุณจะได้สมการ 2x₁+ x₂-3x₃ = 6 และ 5x₂-NS₃ = 2. คุณมีระดับความเป็นอิสระ ดังนั้นให้ x₁ และ x₂ ขึ้นอยู่กับ x₃ และคุณอยู่ที่นั่น
9. สมการที่สองหมายถึง x₂ = 2/5 + 1 / 5x₃.
10. ถ้าคุณใส่ x₂ ในสมการแรก เราได้: 2x₁+ 2/5 + 1 / 5x₃-3x₃ = 6. ความละเอียดเป็น x₁ ผลลัพธ์ใน: x₁ = 14/5 + 7 / 5x₃.
11. พื้นที่สารละลายจึงปล่อยให้ผ่าน L = {(14/5 + 7 / 5x₃; 2/5 + 1 / 5x₃; NS₃)} ระบุ. มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน สำหรับ x₃ = 1 ตัวอย่างเช่น โซลูชัน (21/5; 3/5; 1). ในการทดสอบ คุณสามารถแทนคำตอบนี้ลงในสมการดั้งเดิม และคุณจะพบว่าคำตอบนี้เป็นคำตอบของ LGS จริงๆ

เรียกใช้อัลกอริทึมแบบเกาส์เซียนในตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อทำให้เป็นภายใน คุณสามารถระบุค่าตัวเลขได้ด้วยตัวเอง