Den gaussiska algoritmen för linjära ekvationssystem förklaras i ett nötskal

instagram viewer

Du möter linjära ekvationssystem för första gången på mellanstadiet på gymnasiet. Från och med då kommer du att stöta på system av linjära ekvationer om och om igen, förutsatt att du väljer ett tekniskt yrke eller ofta ställs inför matematiska problem. Den gaussiska algoritmen används för den enkla och entydiga lösningen av ekvationssystem.

Med linjära ekvationssystem är det lätt att tappa spåret!
Med linjära ekvationssystem är det lätt att tappa spåret!

Vad du behöver:

  • Lösningsplan
  • grundläggande matematiska kunskaper
  • Penna
  • papper

Intressanta fakta om system för linjära ekvationer

Om du delar upp termen "system av linjära ekvationer" i de enskilda ordkomponenterna får du en enkel uppfattning om vad en LGS är.

  • En LGS består av flera linjära Ekvationer, där olika initialt okända parametrar förekommer. Linjär betyder att parametrarna inte finns i några Potenser respektive rot förekomst. Till exempel ekvationen x1+ 2x22 = 3 kan inte vara en del av ett linjärt ekvationssystem, eftersom parametern x2 sker i den andra kraften.
  • De olika ekvationerna kan sättas upp genom modellering eller så ges de helt enkelt i uppgiften. Ett exempel: I en lastbilsleverans, tre delar (x 1, x2, x3) levereras, vilket priserna sid1 = 1 euro, sid2 = 2 euro och sid3 = Har 3 euro. Det totala värdet av leveransen är 1 000 euro. Denna information kan sammanfattas i en ekvation 1x1+ 2x2+ 3x3 = 1000, där x1, x2 och x3 motsvarar de ursprungligen okända mängderna av de tre delarna.
  • På detta sätt kan ytterligare ekvationer sättas upp. I det här exemplet skulle utrymmebehovet för delarna och volymen på en lastbil kunna tänkas.
  • Efter att alla linjära ekvationer har ställts in kan LGS lösas, det vill säga bestämningen av den okända parametern x1, x2 och x3. Det är här den gaussiska algoritmen spelar in, med vilken du kan lösa LGS steg för steg enligt ett klart definierat schema.
    • Simplexmetoden för linjär optimering förklaras enkelt

    Linjär optimering handlar om optimal fördelning av knappa resurser till ...

  • Det finns tre alternativ för att lösa ett system med linjära ekvationer. Om du är lite mer erfaren kommer du redan innan lösningsplanen att se om en LGS har en, ingen eller ett oändligt antal lösningar.
  • LGS med de två ekvationerna x1+ x2 = 1 och x1+ 2x2 Till exempel har = 1 ingen lösning eftersom båda ekvationerna inte kan uppfyllas samtidigt. Det finns exakt en lösning om antalet okända parametrar är lika med antalet ekvationer, det finns ingen motsättning och alla ekvationer (var och en i par) är linjärt oberoende. Graden av matrisen som tillhör LGS är då exakt lika med antalet okända. Om rankningen är mindre finns det oändligt många lösningar (se exempel).

Exempel på tillämpning av den gaussiska algoritmen

  1. Genom att modellera ett problem har du de tre ekvationerna 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 och -4x1-2x2+ 6x3 = -12 ställt in.
  2. Skriv nu dessa tre ekvationer under varandra. När du använder den gaussiska algoritmen eliminerar du gradvis variablerna. De vet att elementära linjetransformationer inte förändrar lösningsutrymmet.
  3. Skriv nu ned den första ekvationen oförändrad. Multiplicera den andra och tredje ekvationen så att när den läggs till den första raden har dessa nya ekvationer inte ett x1 innehålla mer. Så du multiplicerar den andra ekvationen med -2 ​​(på grund av x1 i den andra ekvationen och 2x1 i den första ekvationen) och lägg dem till den första raden. På samma sätt delar du den tredje ekvationen med två och lägger till den i den första ekvationen.
  4. I nästa steg har du två ekvationer där endast parametrarna x2 och x3 Dyka upp. Skriv nu ner den andra ekvationen och multiplicera den tredje ekvationen på ett sådant sätt att när den läggs till den andra ekvationen, x2 elimineras. Om du hade andra ekvationer, fortsätt på samma sätt.
  5. I den sista ekvationen har du då bara variabeln x3 som du nu kan bestämma. Genom att ansluta resultatet till de andra två ekvationerna får du värdena för x2 och x1.
  6. I det här exemplet finns det dock ett specialfall. I steg 3, om du delar den tredje ekvationen med 2 och lägger till den i den första ekvationen, får du bara 0x1+ 0x2+ 0x3 = 0. Anledningen till detta är enkel: Ekvation 1 och ekvation 3 är linjärt beroende, eftersom den tredje ekvationen erhålls genom att multiplicera den första ekvationen med -2.
  7. Du kan korsa nollgränsen och veta att rankningen bara är 2 och LGS har ett oändligt antal lösningar, förutsatt att det inte finns någon motsättning.
  8. Så efter steg 3 och 6 har du de två ekvationerna 2x1+ x2-3x3 = 6 och 5x2-x3 = 2. Du har en viss frihet. Så ge x1 och x2 beroende på x3 och du är där.
  9. Den andra ekvationen innebär x2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Om du sätter x2 i den första ekvationen får vi: 2x1+ 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Upplösning till x1 resulterar i: x1 = 14/5 + 7 / 5x3.
  11. Lösningsutrymmet släpper alltså igenom L = {(14/5 + 7 / 5x3; 2/5 + 1 / 5x3; x3)} ange. Det finns ett oändligt antal lösningar. För x3 = 1, till exempel lösningen (21/5; 3/5; 1). Som ett test kan du ansluta denna lösning till de ursprungliga ekvationerna och du kommer att upptäcka att denna lösning faktiskt är en lösning av LGS.

Kör den gaussiska algoritmen i ytterligare exempel för att internalisera den. Du kan själv ange de numeriska värdena.

Hur användbar tycker du att den här artikeln är?

click fraud protection