ВИДЕО: Оптимална конзерва
Оптимална конзерва - проблем изузетне вредности
Произвођачи желе да користе што је могуће мање материјала за лименке, а конзерве пива треба да буду при руци. Па како морају Димензије цилиндричну конзерву која треба да прими 0,5 л треба изабрати тако да је потребно што мање материјала? И да ли се произвођачи уопште придржавају ових оптималних димензија? Овај задатак на први поглед звучи бесмислено, јер поглед на полицу конзерви показује да произвођачи Све у свему, нека лименке буду уједначене, односно исте висине и пречника Изаберите. Али да ли је то можда само због стандардних машина за пуњење? Или зато што се конзервама лако рукује у изабраном облику?
- Ова питања се могу проверити у математици. Укратко, задатак је: који пречник (или полупречник) и која вам је висина потребна за цилиндар лименке изаберите тако да лименка има запремину од 0,5 л, а површина (то је потрошња материјала) што је могуће мања воља.
- Ово је проблем екстремне вредности са главним стањем (површина треба да буде минимална) са секундарним условом (запремина је 0,5 = 500 цм³).
- Када се бавите таквим проблемима, прво морате поставити и главне и споредне услове као једначине. У овом случају, полупречник р круга цилиндра и висина х цилиндра су две непознате (које желите да израчунате).
- Формуле за запремину В и површину Ф цилиндра можете потражити у формули. Уочите да се површина цилиндра састоји од два круга и правоугаоника (омотач цилиндра).
- Важи следеће: В = ¶ р² * х = 500 цм³ као секундарни услов и Ф = 2 ¶ р² + 2 ¶ р * х као главни услов који би требао бити минималан.
- Главни услов у почетку садржи две непознате р и х. Од секундарног услова сада можете одвојити једну од две непознате (х је корисно јер је лакше израчунати) и уметнути је у главни услов. Поступак је сличан замени две једначине са две непознате. Само овде имате Функције урадити.
- Добијате х = 500 / ¶ р² (цм³ је изостављен за даље израчунавање; резултат се затим израчунава у јединици "цм") и стави ово на површину Ф.
- Ф (р) = 2 ¶ р² + 2 ¶ р * (500 / ¶ р²) = 2 ¶ р² + 1000 / р, то јест, површина ваше конзерве сада зависи само од радијуса.
- Према задатку, површина би требала бити минимална, па тражите екстремну вриједност ове функције.
- Да бисте то урадили, изведите Ф (р) према променљивој р и поставите деривацију на нулу.
- Израчунавате Ф '(р) = 4 ¶ р - 1000 / р² (можете да тражите дериват 1 / р у формули ако не знате).
- Следеће се односи на екстрем: 4 ¶ р - 1000 / р² = 0.
- Из овога рачунате р³ = 250 / ¶ и р = 4,3 цм (трећи корен на ТР). Ваша минимална кутија има пречник од скоро 9 цм.
- Сада можете израчунати висину х лименке из секундарног услова (уп. Тачка 8.) до х = 8,6 цм. Пречник и висина се стога подударају.
Знате неке величине цилиндра, попут пречника или ...
Математика и стварност - критички доводе у питање резултат
Али да ли пиво заиста може изгледати овако, отприлике толико високо колико је широко? Свакодневни живот је у супротности са резултатом математика Јасно је да су лименке релативно веће, тако да су уже и, наравно, лакше за руковање. Остаје неизвесно да ли су жеље купаца овде у првом плану. И још нешто треба узети у обзир: конзерве пива нису напуњене до врха, односно веће су од 500 мл. Осим тога, наравно дат је и идеалан облик цилиндра.
- Међутим, нешто се није узело у обзир када је у питању потрошња материјала: има отпада! Ствара се када се кругови исеку. Није познато да ли ће се поново отопити или одложити. У сваком случају, то је губитак компаније. Можда ћете поново израчунати задатак изузетне вредности оптималне конзерве узимајући у обзир овај отпад.
- Тада вам за површину нису потребна два круга, већ два квадрата поред правоугаоне површине цилиндра. Резултат за овај случај је р = 4 цм и х = 10 цм, па лименка постаје све ужа и виша. То је запањујуће!
