Eksponentna funkcija: Izpeljava z uporabo količnika razlik

Predhodna opomba: Običajno je derivat eksponentne funkcije f (x) = e^x s svojo obratno funkcijo, naravnim logaritmom. Tu pa je treba to storiti "povsem peš" nad mejno vrednostjo količnika razlike.

Količnik razlike ima za mejno vrednost izpeljanko

1. Različni količnik katere koli funkcije f (x) lahko predstavimo v obliki [f (x + h) - f (x)] / h. Če se pomožna spremenljivka "h" približa ničli, izvedemo derivacijski f '(x) funkcije iz razlike količnika kot mejno vrednost.
2. Za eksponentno funkcijo f (x) = e^x Posledica tega je naslednji količnik razlik: [npr^x+ h - e^x] / h, ki ga lahko nato pretvorite v [e^x_*e^H - e^x] / h = e^x _* [e^H - 1] / h.
3. Izpeljanko f '(x) eksponentne funkcije lahko dobimo tako, da mejo tega izraza za "h" premaknemo proti ničli. Kot je prikazano spodaj, [npr^H - 1] / h se približa vrednosti "1", tako da je f '(x) = e^x volja. Izpeljava eksponentne funkcije se zato ujema s prvotno funkcijo.

Eksponentna funkcija - podrobneje preučena

Na mejnem prehodu je bil za izračun izvedenega finančnega instrumenta uporabljen podatek, da je izraz [e^H - 1] / h ima mejno vrednost "1", če se pomožna spremenljivka "h" nagiba proti ničli. Toda zakaj je tako?

• Najlažji način, da ugotovite vedenje [e^H - 1] / h Zaradi jasnosti je naravno uporabiti kalkulator za izračun tega izraza za vedno manjše vrednosti "h" (na primer h = 1/100, h = 1/1000 itd.). Hitro postane očitno, da se dejansko približuje "1". Vendar to ni matematični dokaz.
• Druga možnost je oceniti eksponentno funkcijo za majhne argumente. Namreč, e^H = 1 + h + h² / 2... Ta razvoj serije je mogoče zanesljivo prekiniti po 2 ali 3 terminih, ker bi moral biti "h" majhen. Če postavimo to oceno v izraz [npr^H - 1] / h, dobimo [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2], če skrajšamo z imenovalcem. Kot mejna vrednost je ta izraz dejansko "1" za h proti nič.