Reševanje nepravilnih integralov je preprosto razloženo

Kaj so nepravilni integrali?

Nepravilni integrali so integrali, ki se jim na prvi pogled ni treba razlikovati od navadnih integralov. Najboljši način za vizualizacijo nepravilnih integralov je, da naredite skico. Če integrirate katero koli funkcijo, integral ustreza območju pod krivuljo. Kaj pa, če funkcija teži k neskončnosti pri integracijski meji?

• Ista težava nastane, če ima obravnavana funkcija vodoravno ali navpično asimptoto.
• Sprva morda ne boste opazili težave, vendar začnite delati integralno ki ste jih uporabljali za reševanje, boste najpozneje opazili, ko v mejah, ki ste jih določili, niste Pojdi naprej.
• Na primer, razmislimo o Eulerjevi funkciji f (x) = e^x in jih poskušajte integrirati od minus neskončnosti do nič. Če to storite in postavite meje, dobite izraz "e⁰-e^-∞ ", kaj pa vam ta izraz pomeni?

Reševanje nepravilnih integralov

1. Nepravilne integrale lahko zelo enostavno rešite, če "problematično" omejitev integracije zamenjate s spremenljivko, ki Rešite integral in nato izvedite analizo mejne vrednosti, v kateri spremenljivko zaženete glede na prvotno "težavno vrednost" dovoljenje.


Integral dx - tako rešite nalogo

Tudi pametni matematični ljudje se lahko zmedejo: integralni znaki in ...

2. V zgornjem primeru rešite integral e^x dx z integracijskimi mejami u in 0. Provodilo f (x) = e^x je F (x) = e^x, ker imamo F '(x) = f (x).
3. Če zdaj vstavite omejitve integracije, boste dobili izraz e⁰-e^u = 1-e^u.
4. Zdaj oblikujte mejno vrednost za u -> -∞. Dobiš lim_u 1-e^u = 1.

Še en primer neustreznih integralov

1. Funkcija g (x) = 1 / x² je treba integrirati v intervalu od 0 do 1. Veste, da ima funkcija g pol v točki x = 0.
2. Najprej določite anti -derivacijo funkcije g z G (x) = -1 / x.
3. Za spodnjo mejo integracije najprej zamenjajte v z 0, kar vam daje površino A = -1 - ( - 1 / v).
4. Zdaj razmislite o mejni vrednosti (lim_{v-> 0}) za v proti 0. Kajti v proti 0, 1 / v teži k + ∞ in ker sta pred izrazom dva znaka minus, se območje A posledično nagiba k neskončnosti.

Vidite, reševanje nepravilnih integralov sploh ni tako težko. Samo vedeti morate, kje začeti.