Vysvetlené rozšírenie radu o výkonové rady

instagram viewer

Vhodnou transformáciou je možné mnohé funkcie previesť na výkonový rad. Ako to však presne funguje a na čo by ste mali myslieť? Uvidíte, že rozšírenie silových radov nie je také ťažké, ak budete postupovať podľa určitej schémy a sami ste to odvodili.

Vývoj funkcie v sérii Mac Laurin

Samozrejme, nie každú ľubovoľnú funkciu je možné vyvinúť do výkonovej rady. Funkcia musí skôr spĺňať určité kritériá, aby bolo možné tento proces vôbec použiť. Rovnako dobré ako všetky jednoduché Funkcies ktorými sa stretávate v každodennom živote, spĺňajú tieto kritériá, tento krok tu jednoducho vynecháme. Okamžite však uvidíte, že uvažovaná funkcia musí byť v každom prípade diferencovateľná tak často, ako sa vyžaduje (potrebná podmienka).

  1. Predpokladajme, že akúkoľvek funkciu f je možné jedinečne rozšíriť do určitej mocninovej série. Potom môže byť táto funkcia reprezentovaná ako mocninová funkcia. Platí: f (x) = a0+ a1X1+ a2X2+ a3X3+ a4X4+...
  2. Najprv bod vývoja x0 = 0 uvažovaných. V prostredí okolo tohto vývojového bodu musí byť funkcia diferencovateľná tak často, ako sa vyžaduje.
  3. Teraz môžeš Deriváty funkcie. f '(x) = a1+ 2a2X1+ 3a3X2+ 4a4X3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3X1+ 12a4X2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. V bode vývoja x0 = 0 potom: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Vypočítajte extrémy - takto sa to robí s polynómami

    Vypočítajte extrémy polynómu a zadajte relatívne maximum a minimum ...

  5. Ak sa pozriete pozorne na koeficienty, všimnete si, že sa správajú ako faktoriál (máme (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... a navyše (0!) = 1).
  6. Majte to na pamäti pri vývoji funkcie, dostanete f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Ak teraz zmeníte podľa koeficientov, dostanete a0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Môžete vidieť koeficienty an dodržiavať školský zákon an = fn)(0) / n!
  9. Teraz môžete svoje nové zistenia preniesť do výstupnej funkcie f, takže platí f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [fn)(0) / n!] Xn. Táto nekonečná séria sa nazýva séria Mac Laurin.
  10. Čo vám tieto informácie teraz prinášajú? Pre každú funkciu, ktorú je možné vyvinúť na mocninu, stačí určiť deriváty a túto funkciu môžete reprezentovať ako nekonečný rad.

Príklad: rozšírenie radu síl f (x) = sin (x)

Najlepším spôsobom, ako porozumieť vyššie uvedenej schéme, je použiť ju priamo na jednoduchom príklade. Za týmto účelom zvážte funkciu f (x) = sin (x). Ako iste viete, túto funkciu je možné rozlišovať mnohokrát.

  1. Najprv určte prvé štyri zvody. Platí: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Odteraz sa všetko opakuje v cykle štyroch.
  2. Teraz zvážte bod vývoja x0 = 0, potom f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Teraz vložte deriváty do série Mac Laurin. f (x) = Σn = 0 [fn)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5!+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nX2n + 1/(2n+1)!
  4. Získate tak striedavú sériu, ktorej konvergenciu by ste mohli dokázať napríklad Leibnizovým kritériom. Každý druhý člen radu je vynechaný, pretože sin (0) = 0. Výkonový rad kosínusu môžete určiť úplne analogicky (riešenie: Σn = 0 (-1)nX2n/(2n)! ).

Príklad: Rozšírenie f (x) = eX do silovej série

  1. Rozvoj eX do výkonovej série je obzvlášť jednoduché. Máme f (x) = fn)(x) = eX ∀ n∈N.
  2. Ak budete postupovať podľa rovnakej schémy, dostanete kvôli fn)(0) = e0 = 1 nasledujúci riadok: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 Xn/n!

Od série Mac Laurin po sériu Taylor

So sériou Mac Laurin máte iba špeciálny bod vývoja x0 = 0 uvažovaných. V nasledujúcom kroku by sa toto obmedzenie malo zrušiť a mal by sa zvážiť akýkoľvek bod vývoja x = x *.

  • V zásade uvažujete rovnako ako pri odvodzovaní série Mac Laurin.
  • Získate mocninový rad f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [fn)(x *) / n!] (x-x *)n s x * ako bodom vývoja.

Pre x * = 0 sa Taylorova séria zmení na sériu Mac Laurin. Séria Mac Laurin je teda špeciálnym prípadom série Taylor. V praxi je séria Taylor oveľa rozšírenejšia ako séria Mac Laurin, pretože je možné akékoľvek vývojové centrum. Pre lepšie pochopenie a odvodenie má však zmysel najskôr sa pozrieť na jednoduchší variant série.

click fraud protection