VIDEO: Cutia optimă
Cutia optimă - o problemă de valoare extremă
Producătorii doresc să utilizeze cât mai puțin material posibil pentru conserve și conserve de bere ar trebui să fie la îndemână. Deci cum trebuie Dimensiuni trebuie selectată o cutie cilindrică cu o capacitate de 0,5 l, astfel încât să fie nevoie de cât mai puțin material posibil? Și producătorii aderă la aceste dimensiuni optime? Această sarcină sună fără sens la început, deoarece o privire la raftul cutiei arată că producătorii În general, faceți conservele uniforme, adică aceeași înălțime și diametru Selectați. Dar acest lucru se datorează probabil doar mașinilor de umplere standard? Sau pentru că conservele sunt ușor de manevrat în forma aleasă?
- Aceste întrebări pot fi verificate în matematică. Pe scurt, sarcina este: ce diametru (sau rază) și ce înălțime aveți nevoie pentru cilindrul de cutie alegeți astfel încât cutia să dețină un volum de 0,5 l și suprafața (adică consumul de material) cât mai mică posibil voi.
- Aceasta este o problemă de valoare extremă cu o stare principală (suprafața ar trebui să fie minimă) cu o stare secundară (volumul este de 0,5 = 500 cm³).
- Cu astfel de probleme, trebuie mai întâi să configurați atât ecuațiile principale, cât și cele secundare. În acest caz, raza r a cercului cilindrului și înălțimea h ale cilindrului sunt cele două necunoscute (pe care doriți să le calculați).
- Puteți căuta formulele pentru volumul V și suprafața F a unui cilindru din formular. Observați că suprafața unui cilindru este formată din cele două cercuri și un dreptunghi (mantaua cilindrului).
- Se aplică următoarele: V = ¶ r² * h = 500 cm³ ca condiție secundară și F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h ca condiție principală care ar trebui să fie minimă.
- Condiția principală conține inițial cele două necunoscute r și h. Din starea secundară puteți separa acum una dintre cele două necunoscute (h este util, deoarece este mai ușor de calculat) și introduceți-l în starea principală. Procedura este similară cu înlocuirea a două ecuații cu două necunoscute. Doar aici îl ai Funcții a face.
- Obțineți h = 500 / ¶ r² (cm³ sunt lăsați în afara pentru calculul ulterior; rezultatul este apoi calculat în unitatea "cm") și puneți-l în suprafața F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, adică suprafața cutiei dvs. depinde acum doar de rază.
- Conform sarcinii, suprafața ar trebui să fie minimă, deci căutați o valoare extremă a acestei funcții.
- Pentru a face acest lucru, derivați F (r) conform variabilei r și setați derivata la zero.
- Calculați F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (puteți căuta derivata de 1 / r în formular dacă nu știți).
- Următoarele se aplică unui extrem: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- Din aceasta calculați r³ = 250 / ¶ și r = 4,3 cm (a treia rădăcină pe TR). Cutia dvs. minimă are un diametru de aproape 9 cm.
- Acum puteți calcula înălțimea h a cutiei din condiția secundară (cf. Punctul 8.) la h = 8,6 cm. Prin urmare, diametrul și înălțimea se potrivesc.
Știți unele dimensiuni ale unui cilindru, cum ar fi diametrul sau ...
Matematică și realitate - pune la îndoială rezultatul
Dar poate o bere să arate într-adevăr așa, la fel de mare pe cât de largă? Viața de zi cu zi contrazice rezultatul matematică În mod clar, cutiile sunt relativ mai mari, deci mai înguste și bineînțeles mai ușoare. Rămâne nesigur dacă dorințele clientului sunt în prim-plan aici. Și altceva ar trebui luat în considerare: conservele de bere nu sunt umplute până la vârf, adică mai mari de 500 ml. În plus, forma cilindrului ideal este bineînțeles dată.
- Cu toate acestea, ceva nu a fost luat în considerare când a fost vorba de consumul de materiale: există deșeuri! Este creat atunci când cercurile sunt tăiate. Nu se știe dacă va fi topit din nou sau eliminat. În orice caz, este o pierdere pentru companie. Poate că veți recalcula sarcina de valoare extremă a cutiei optime, luând în considerare aceste deșeuri.
- Atunci nu ai nevoie de două cercuri pentru suprafață, ci de două pătrate în plus față de suprafața cilindrică dreptunghiulară. Rezultatul pentru acest caz este r = 4 cm și h = 10 cm, astfel încât cutia devine mai îngustă și mai înaltă. Este uimitor!
