Funcție exponențială: Derivare utilizând coeficientul de diferență

Observație preliminară: De obicei derivata funcției exponențiale este f (x) = e^X prin intermediul funcției sale inverse, logaritmul natural. Totuși, aici ar trebui să se facă „în întregime pe jos” peste valoarea limită a coeficientului de diferență.

Coeficientul de diferență are ca valoare limită derivatul

1. Cota de diferență a oricărei funcții f (x) poate fi reprezentată sub forma [f (x + h) - f (x)] / h. Dacă variabila auxiliară "h" se apropie de zero, derivata f '(x) a funcției se obține din coeficientul de diferență ca valoare limită.
2. Pentru funcția exponențială f (x) = e^X Acest lucru are ca rezultat următorul coeficient de diferență: [e^X+ h - e^X] / h, pe care îl puteți converti în continuare în [e^X_*e^H - e^X] / h = e^X _* [e^H - 1] / h.
3. Derivata f '(x) a funcției exponențiale poate fi obținută luând limita acestei expresii pentru "h" spre zero. După cum se arată mai jos, [e
   instagram viewer
   ^H - 1] / h se apropie de valoarea „1”, astfel încât f '(x) = e^X voi. Prin urmare, derivarea funcției exponențiale este de acord cu funcția originală.

Funcția exponențială - examinată mai detaliat

La trecerea frontierei pentru calculul derivatului, faptul că expresia [e^H - 1] / h are valoarea limită „1” dacă variabila auxiliară „h” tinde spre zero. Dar de ce este așa?

• Cel mai simplu mod de a afla despre comportamentul [e^H - 1] / h Pentru a oferi claritate, este firesc să folosiți calculator pentru a calcula această expresie pentru valori tot mai mici ale „h” (de exemplu h = 1/100, h = 1/1000 etc.). Devine repede evident că se apropie de fapt de „1”. Cu toate acestea, aceasta nu este o dovadă matematică.
• O altă posibilitate este estimarea funcției exponențiale pentru argumente mici. Și anume, e^H = 1 + h + h² / 2... Această dezvoltare a seriei poate fi întreruptă cu încredere după 2 sau 3 termeni, deoarece „h” ar trebui să fie mic. Dacă cineva pune această estimare în expresia [e^H - 1] / h, se obține [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2] dacă se abreviază cu numitorul. Ca valoare limită, această expresie este de fapt „1” pentru h spre zero.