O algoritmo gaussiano de sistemas lineares de equações explicado em poucas palavras

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Você encontra sistemas lineares de equações pela primeira vez no ensino médio. A partir de então, você encontrará sistemas de equações lineares repetidas vezes, desde que decida por uma profissão técnica ou seja freqüentemente confrontado com problemas matemáticos. O algoritmo de Gauss é usado para a solução simples e inequívoca de sistemas de equações.

Com sistemas lineares de equações, é fácil perder o controle!
Com sistemas lineares de equações, é fácil perder o controle!

O que você precisa:

  • Esquema de solução
  • conhecimento matemático básico
  • Caneta
  • papel

Fatos interessantes sobre sistemas de equações lineares

Se você separar o termo "sistema de equações lineares" nos componentes de palavras individuais, terá uma ideia simples do que é um LGS.

  • Um LGS consiste em vários lineares Equações, em que vários parâmetros inicialmente desconhecidos ocorrem. Linear significa que os parâmetros não estão em nenhum Potências respectivamente raiz ocorrência. Por exemplo, a equação x1+ 2x22 = 3 não pode fazer parte de um sistema linear de equações, pois o parâmetro x2 ocorre na segunda potência.
  • As diferentes equações podem ser configuradas por modelagem ou simplesmente fornecidas na tarefa. Um exemplo: em uma entrega de caminhão, três peças (x1, x2, x3) entregue, cujos preços p1 = 1 euro, p2 = 2 euros e p3 = Tem 3 euros. O valor total da entrega é de 1.000 euros. Essas informações podem ser resumidas em uma equação 1x1+ 2x2+ 3x3 = 1.000, onde x1, x2 e x3 correspondem às quantidades inicialmente desconhecidas das três partes.
  • Desta forma, outras equações podem ser configuradas. Neste exemplo, os requisitos de espaço das peças e o volume de um caminhão seriam concebíveis.
  • Após todas as equações lineares terem sido configuradas, o LGS pode ser resolvido, ou seja, a determinação do parâmetro desconhecido x1, x2 e x3. É aqui que entra o algoritmo Gaussiano, com o qual você pode resolver o LGS passo a passo de acordo com um esquema claramente definido.
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  • Existem três opções para resolver um sistema de equações lineares. Se você for um pouco mais experiente, já verá antes de aplicar o esquema de soluções se um LGS possui uma, nenhuma ou uma infinidade de soluções.
  • O LGS com as duas equações x1+ x2 = 1 e x1+ 2x2 Por exemplo, = 1 não tem solução porque as duas equações não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Há exatamente uma solução se o número de parâmetros desconhecidos for igual ao número de equações, não houver contradição e todas as equações (cada uma em pares) forem linearmente independentes. A classificação da matriz pertencente ao LGS é então exatamente igual ao número de incógnitas. Se a classificação for menor, existem infinitas soluções (veja o exemplo).

Exemplo de aplicação do algoritmo gaussiano

  1. Ao modelar um problema, você tem as três equações 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 e -4x1-2x2+ 6x3 = -12 configurado.
  2. Agora escreva essas três equações uma abaixo da outra. Ao aplicar o algoritmo Gaussiano, você elimina gradualmente as variáveis. Eles sabem que as transformações de linha elementares não mudam o espaço de solução.
  3. Agora escreva a primeira equação inalterada. Multiplique a segunda e a terceira equações de modo que, quando adicionadas à primeira linha, essas novas equações não tenham um x1 conter mais. Então você multiplica a segunda equação por -2 (por causa de x1 na segunda equação e 2x1 na primeira equação) e adicione-os à primeira linha. Da mesma forma, divida a terceira equação por dois e adicione-a à primeira equação.
  4. Na próxima etapa, você tem duas equações nas quais apenas os parâmetros x2 e x3 Aparecer. Agora escreva a segunda equação e multiplique a terceira equação de tal forma que, quando adicionada à segunda equação, x2 é eliminado. Se você tiver outras equações, proceda da mesma maneira.
  5. Na última equação você só tem a variável x3 que agora você pode determinar. Colocando o resultado nas outras duas equações, você obtém os valores de x2 e x1.
  6. Neste exemplo, entretanto, há um caso especial. Na etapa 3, se você dividir a terceira equação por 2 e adicioná-la à primeira equação, obterá apenas 0x1+ 0x2+ 0x3 = 0. A razão para isso é simples: a Equação 1 e a Equação 3 são linearmente dependentes, porque a terceira equação é obtida multiplicando-se a primeira equação por -2.
  7. Você pode riscar a linha zero e saber que a classificação é apenas 2 e o LGS tem um número infinito de soluções, desde que não haja contradição.
  8. Então, após as etapas 3 e 6, você tem as duas equações 2x1+ x2-3x3 = 6 e 5x2-x3 = 2. Você tem um certo grau de liberdade. Então dê x1 e x2 dependendo de x3 e você está lá.
  9. A segunda equação implica x2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Se você colocar x2 na primeira equação, obtemos: 2x1+ 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Resolução para x1 resulta em: x1 = 14/5 + 7 / 5x3.
  11. O espaço de solução, portanto, deixa passar L = {(14/5 + 7 / 5x3; 2/5 + 1 / 5x3; x3)} indicar. Existem inúmeras soluções. Por x3 = 1, por exemplo, a solução (21/5; 3/5; 1). Como um teste, você pode inserir essa solução nas equações originais e descobrir que essa solução é, na verdade, uma solução do LGS.

Execute o algoritmo Gaussiano em outros exemplos para internalizá-lo. Você mesmo pode especificar os valores numéricos.

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