Derivado: ln (ln (x))

Derivando funções aninhadas

A função f (x) = ln (ln (x)) é aninhada porque você obtém o valor da função executando duas instruções diferentes, uma após a outra. Supondo que você queira formar f (2), primeiro você deve calcular ln 2, que é 0,69.. e então ln 0,69... Então você obtém o valor da função de - 0,37.

• Alguém fala no matemática de uma cadeia de uma função interna no caso de ln x e uma função externa que também é ln. Para esclarecimento, g (x) = (x²+1)³ também seria uma função aninhada. A função interna é i (x) = x²+ 1 e o ä externo (x) = i (x)³. Este exemplo mostra o princípio mais claramente do que a função logarítmica.
• Tal Funções são derivados de acordo com a regra da cadeia. Você precisa derivar a função externa e multiplicá-la pela derivada da função interna. Portanto, se g (x) = ä (i (x)), então g '(x) = g' (i (x)) * i '(x). Para esclarecimento: g (x) = (x²+1)³ => g '(x) = 3 (x²+1)² * 2 x, onde g '(i (x)) = 3 (x²+1)² e i '(x) = 2 x.

A derivada da função g (x) = (x²+1)³ você pode, é claro, construir sem a regra da cadeia, porque você pode multiplicar os colchetes. Este caminho não é deixado para você com a função logarítmica.

Aplicação da regra da cadeia a ln (ln (x))

A derivada de In x é 1 / x. Além disso, f (x) = ln (ln (x)). Nesse caso, i (x) = ln x e ä (x) = ln (i (x).

1. Primeiro, forme a derivada interna i '(x). Então isso é 1 / x.
2. Em seguida, calcule ä '(x), ou seja, a derivada externa. Isso é 1 / i (x) t, ou seja, 1 / ln (x), porque i (x) é ln (x).
3. Agora não é problema formar f '(x): f' (x) = ä '(x) * i' (x) = 1 / ln (x) * 1 / x.
4. Você pode resumir este produto de acordo com a regra numerador vezes numerador por denominador vezes denominador. Então você obtém g '(x) = 1 / (x (ln (x)).