Liniowa niezależność od funkcji

Funkcje mogą być również liniowo niezależne

Oprócz znanych już wektorów przestrzeni dwu- lub trójwymiarowej istnieją inne zbiory spełniające warunki przestrzeni wektorowej. Przykładem są wszystkie ciągłe Funkcje nad rzeczywistością Rachunkowość R. (Nie musisz koniecznie wiedzieć, jakie są warunki przestrzeni wektorowej, aby to zrozumieć dalej).

• W kontekście funkcjonalnym niezależność liniowa oznacza, że ​​zbiór funkcji f_i narasta lub kompletny podzbiór tego. Innymi słowy: Dowolna funkcja, jakkolwiek dowolna, może być użyta jako liniowa kombinacja tych podstawowych funkcji f_i przedstawiać.
• Tak jak możesz zbadać zbiór wektorów pod kątem liniowej niezależności, możesz zrobić to samo z zestawem funkcji. Mówiąc prościej, zbiór funkcji f_i następnie liniowo niezależny, jeśli nie możesz przedstawić żadnej z tych funkcji jako liniowej kombinacji innych funkcji.
instagram viewer
• Matematycznie dla niezależności liniowej przyjmuje się, że równanie ∑ a_i * F_i = 0 może być spełnione tylko wtedy, gdy wszystkie (!) współczynniki rzeczywiste a_i = 0. To ostatnie wyrażenie matematyczne jest również kryterium testowym dla zbioru funkcji f_i. Więc w końcu, tak jak w przypadku wektorów, musisz znaleźć równanie z niewiadomymi a_i zbadać.

Liniowa niezależność - przykłady

• Przykładem często wybieranym dla zbioru funkcji ciągłych nad R, które są liniowo niezależne, jest f₁(x) = x², f₂(x) = e^x i f₃(x) = e^-x. Już wstępne rozważania pokazują, że żadna z tych trzech funkcji nie może być wyrażona przez dwie pozostałe. Z grubsza rzecz biorąc, podane funkcje są zbyt różne. Również równanie a₁x² + a₂mi^x * a₃mi^-x = 0 można rozwiązać tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki a_i = 0.


Liniowa kombinacja wektorów – wyjaśnia matematyk

Masz do czynienia z liniową kombinacją wektorów, jeśli jesteś w ...

• Dwie funkcje f₁(x) = sin 2x, f₂Jednak (x) = sinx * cos x są zależne liniowo, ponieważ za pomocą wzoru można przekształcić funkcję podwójnego kąta w drugą funkcję.
• (nieskończony) zbiór funkcji f_i(x) = xⁱ, gdzie indeks i to liczby 0,1,2... przebiega, nawiasem mówiąc, tworzy liniowo niezależną bazę przestrzeni wektorowej funkcji całkowicie wymiernych. Liniowa niezależność f_i można łatwo zobaczyć. Tak zwany Wyznacznik Wrońskiego.