WIDEO: Rozwiązywanie prostych problemów z wartościami ekstremalnymi

instagram viewer

Modelowanie problemów z wartościami ekstremalnymi

  • Najpierw musisz ustawić równanie funkcyjne f, które jest zależne od parametru, zwykle używa się x. x oznacza zmienną i nieznaną wielkość, którą należy wybrać, aby ostatecznie osiągnąć maksymalny lub minimalny wynik dla problemu wartości ekstremalnych.
  • x może być B. oznaczają długość stołu lub wagę cegły.
  • Masz wtedy m.in. B. funkcja postaci f (x) = 2x3-4x + 3 znalezione.
  • Ale może być również tak, że funkcja jest zależna od dwóch lub więcej zmiennych w pierwszym kroku, np. B. f (x, y) = 5x2-2xy + 3y-6.
  • Teraz musisz znaleźć ograniczenie, które określa jedną zmienną jako funkcję drugiej zmiennej. Dotyczy m.in. B. y = 2x + 2, wtedy możesz wstawić to y do równania funkcyjnego i otrzymujesz teraz proste równanie funkcyjne, które zależy tylko od x. W tym przykładzie po mnożeniu i łączeniu byłoby to: f (x) = 5x2-2x (2x + 2) +3 (2x + 2) -6 = x2+ 2x + 6.
    • Co to jest arctan

    Arctan jest funkcją odwrotną tangensa w przedziale] -pi/2, pi/2 [. To jest …

  • Ten przykład jest omówiony poniżej.

Proste różnicowanie – tak to działa

  • Po znalezieniu równania funkcji, które modeluje twój problem z wartościami ekstremalnymi, wszystko, co musisz zrobić, to znaleźć specjalną wartość dla x, która minimalizuje lub maksymalizuje twoją funkcję.
  • Aby to zrobić, musisz wziąć pierwszą pochodną funkcji względem x. W tym celu możesz potrzebować iloczynu, ilorazu lub reguły łańcucha, w zależności od trudności równania funkcji. Jeśli nie jesteś już zaznajomiony z tym ze szkoły, możesz go znaleźć w prostych zasadach wyprowadzania w popularnych formułach lub książkach.
  • W naszym przykładzie otrzymujemy teraz funkcję pochodną f '(x) = 2x + 2.
  • Musisz wiedzieć, że może istnieć tylko punkt ekstremalny, w którym spełniony jest warunek f '(x) = 0.
  • Więc w następnym kroku musisz ustawić pochodną równą 0. W tym przykładzie byłoby to 0 = f '(x) = 2x + 2 <=> 2x = -2 <=> x = -1.
  • W punkcie x = -1 istnieje zatem kandydat na punkt ekstremalny.
  • Oczywiście może być wielu kandydatów do rozwiązywania problemów z ekstremalną wartością. Należy je również sprawdzić indywidualnie w następnym kroku. W tym prostym przykładzie jest tylko jeden kandydat.

Proste różnicowanie się powiodło – co teraz?

  • Aby stwierdzić, czy w wyznaczonych punktach istnieją proste punkty ekstremalne, należy utworzyć drugą pochodną.
  • Istnieją trzy możliwości: f '' (x) <0 ma zastosowanie, tutaj występuje lokalne maksimum. Lub: f '' (x)> 0 ma zastosowanie, tutaj jest lokalne minimum. Lub: f '' (x) = 0, nie ma tu punktu skrajnego (jest to tak zwany punkt siodłowy).
  • W omawianym tu prostym przykładzie druga pochodna musi być zbadana w punkcie x = -1. Przede wszystkim f '' (x) = 2. Więc także f '' (- 1) = 2.
  • Ponieważ f '' (- 1)> 0 istnieje lokalne minimum w punkcie x = -1.
  • Jeśli znalazłeś innych kandydatów do swoich problemów z wartościami ekstremalnymi, powinieneś teraz również sprawdzić dla każdego kandydata, czy istnieje punkt ekstremalny i jakiego jest to typ.

Jak widać, naprawdę łatwo jest znaleźć rozwiązanie najbardziej ekstremalnych problemów związanych z wartością. Największa trudność polega tylko na ustaleniu prawidłowego równania funkcyjnego dla odpowiedniego problemu wartości ekstremalnych.

click fraud protection