Układy równań liniowych: kilka rozwiązań

Dwa równania i wiele rozwiązań - jeden problem

• Może to już ci się przydarzyło: chcesz mieć liniowy układ równań z tylko 2 równaniami i dwiema niewiadomymi (zwykle x i y), ale podczas obliczania dzieje się coś „dziwnego”, ponieważ oba równania są po przekształceniach identyczny.
• Taki przypadek występuje np. w systemie 2x - 3y = 8 i 6y = 4x - 16. Jeśli rozwiążesz oba równania dla x (lub y) w celu rozwiązania ich metodą równań, okazują się one identyczne.
• We wszystkich takich przypadkach istnieje kilka, a nawet nieskończenie wiele rozwiązań liniowego układu równań. W tym przykładzie możesz wszystko prawdziwe dla nieznanego x Rachunkowość i obliczyć y zgodnie z jednym z dwóch równań. Zatem x = 1 i y = -2 byłyby rozwiązaniem, ale także x = 0 i y = -8/3. W zależności od wyboru x można odpowiednio znaleźć dalsze rozwiązania.

Nawiasem mówiąc, zamiast kilku rozwiązań, mówi się również o tym, że układ równań nie jest jednoznacznie rozwiązywalny.

Liniowe układy równań z kilkoma niewiadomymi – metoda badawcza

• Jeśli masz liniowy układ równań z n równaniami z n niewiadomymi, poznasz możliwości matematyki w szkole wyższej, aby sprawdzić, czy istnieje kilka rozwiązań.


Algorytm Gaussa liniowych układów równań wyjaśniony w skrócie

W gimnazjum po raz pierwszy spotkasz się z liniowymi układami równań ...

• To jest koncepcja zależności liniowej. W omówionym powyżej przykładzie oba równania były zależne liniowo, ponieważ drugie równanie można było wygenerować z pierwszego przez pomnożenie przez liczbę.
• Nawet w układzie równań liniowych, który jest bardziej skomplikowany niż ten wymieniony powyżej, nie musisz robić nic więcej poza sprawdzeniem, czy poszczególne równania są liniowo zależne.
• Istnieje kilka opcji tej procedury. Na przykład możesz rozwiązać system zgodnie z algorytmem Gaussa. W przypadku zależnym otrzymasz tylko zera w jednym z wierszy - forma egzaminu, która jest szczególnie powszechna na lekcjach szkolnych.
• Taką linię zerową można rozwiązać dla dowolnej kombinacji zmiennych i dlatego nie stanowi ona ograniczenia (można ją również pominąć).
• Pozostaje n-1 równań, ale wciąż n niewiadomych. Tutaj też można dowolnie wybrać jedną nieznaną lub zmienną, pozostałe wynikają z pozostałych równań. W związku z tym układ równań ma jednoparametrowy nieskończony zbiór rozwiązań. Jeśli masz więcej niż jedną linię zerową, możesz dowolnie wybrać kilka niewiadomych.

Przy okazji: liniowy układ równań zawiera mniej Równania jako zmienna informacja nie jest również wystarczająca do jednoznacznego rozwiązania. Nazywa się to nieokreślonym. Systemy unieważnione, które zawierają więcej równań niż niewiadomych, są albo nierozwiązywalne, ponieważ opierają się na sprzeczności (np. B. 0 = -1!), Lub możliwe do rozwiązania, jeśli nie ma linii.