Afgeleide: ln (ln (x))

Geneste functies afleiden

De functie f (x) = ln (ln (x)) is genest omdat je de functiewaarde krijgt door twee verschillende instructies achter elkaar uit te voeren. Ervan uitgaande dat je f (2) wilt vormen, moet je eerst ln 2 berekenen, dat is 0,69.. en dan ln 0.69... U krijgt dus de functiewaarde van - 0,37.

• Men spreekt in de wiskunde uit een keten van een binnenfunctie in het geval van ln x en een buitenfunctie die ook ln is. Ter verduidelijking, g (x) = (x²+1)³ zou ook zo'n geneste functie zijn. De binnenfunctie is i (x) = x²+ 1 en de buitenste ä (x) = i (x)³. Dit voorbeeld laat het principe duidelijker zien dan de logaritmische functie.
• Zo een Functies zijn afgeleid volgens de kettingregel. Je moet de uiterlijke functie afleiden en die vermenigvuldigen met de afgeleide van de innerlijke functie. Dus als g (x) = ä (i (x)), dan g '(x) = g' (i (x)) * i '(x). Ter verduidelijking: g (x) = (x
  instagram viewer
  ²+1)³ => g '(x) = 3 (x²+1)² * 2 x, waarbij g '(i (x)) = 3 (x²+1)² en ik '(x) = 2x.

De afgeleide van de functie g (x) = (x²+1)³ je kunt natuurlijk bouwen zonder de kettingregel, omdat je de haakjes kunt vermenigvuldigen. Deze manier wordt niet aan jou overgelaten met de logaritmische functie.

Toepassing van de kettingregel op ln (ln (x))

De afgeleide van In x is 1 / x. Verder geldt f (x) = ln (ln (x)). In dit geval i (x) = ln x en ä (x) = ln (i (x).

1. Vorm eerst de binnenste afgeleide i '(x). Dus dat is 1 / x.
2. Bereken dan ä '(x), d.w.z. de buitenste afgeleide. Dit is 1 / i (x) t, d.w.z. 1 / ln (x), omdat i (x) ln (x) is.
3. Nu is het geen probleem om f '(x) te vormen: f' (x) = ä '(x) * i' (x) = 1 / ln (x) * 1 / x.
4. U kunt dit product samenvatten volgens de regel teller maal teller voor noemer maal noemer. Je krijgt dus g '(x) = 1 / (x (ln (x)).