Eksponenciālā funkcija: atvasināšana, izmantojot starpības koeficientu

Iepriekšēja piezīme: Parasti eksponenciālās funkcijas atvasinājums ir f (x) = e^x izmantojot apgriezto funkciju - dabisko logaritmu. Tomēr šeit tas būtu jādara "pilnīgi kājām", pārsniedzot starpības koeficienta robežvērtību.

Starpības koeficienta robežvērtība ir atvasinājums

1. Jebkuras funkcijas f (x) starpības koeficientu var attēlot formā [f (x + h) - f (x)] / h. Ja palīg mainīgais "h" tuvojas nullei, funkcijas atvasinājums f '(x) tiek iegūts no starpības koeficienta kā robežvērtības.
2. Eksponenciālajai funkcijai f (x) = e^x Rezultātā tiek iegūts šāds atšķirību koeficients: [e^x+ h - e^x] / h, ko varat tālāk pārveidot par [e^x_*e^H - e^x] / h = e^x _* [e^H - 1] / h.
3. Eksponenciālās funkcijas atvasinājumu f '(x) var iegūt, novietojot šīs izteiksmes robežu "h" uz nulli. Kā parādīts zemāk, [e^H - 1] / h tuvojas vērtībai "1", lai f '(x) = e^x būs. Tāpēc eksponenciālās funkcijas atvasinājums atbilst sākotnējai funkcijai.

Eksponenciālā funkcija - sīkāk pārbaudīta

Robežšķērsošanas vietā, lai aprēķinātu atvasinājumu, to, ka izteiksme [piem^H - 1] / h ir robežvērtība "1", ja papildu mainīgais "h" tiecas uz nulli. Bet kāpēc tas tā ir?

• Vieglākais veids, kā uzzināt par [e^H - 1] / h Skaidrības nodrošināšanai ir dabiski izmantot kalkulators lai aprēķinātu šo izteiksmi arvien mazākām "h" vērtībām (piemēram, h = 1/100, h = 1/1000 utt.). Ātri kļūst skaidrs, ka tas faktiski tuvojas "1". Tomēr tas nav matemātisks pierādījums.
• Vēl viena iespēja ir novērtēt eksponenciālo funkciju maziem argumentiem. Proti, e^H = 1 + h + h² / 2... Šo sērijas izstrādi var droši pārtraukt pēc 2 vai 3 termiņiem, jo ​​"h" jābūt mazam. Ja šo aplēsi ieliek izteiksmē [piem^H - 1] / h, iegūstot [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2], ja saīsina pēc saucēja. Kā robežvērtība šī izteiksme faktiski ir “1” h virzienā uz nulli.