VIDÉO: La boîte optimale
La canette optimale - un problème de valeur extrême
Les fabricants veulent utiliser le moins de matériau possible pour les canettes et les canettes de bière devraient être pratiques. Alors comment doivent-ils Dimensions une boîte cylindrique d'une capacité de 0,5 l doit être choisie de telle sorte que aussi peu de matériau que possible est nécessaire? Et ne les fabricants adhèrent à ces dimensions optimales du tout? Cette tâche semble absurde au premier abord, car un coup d'œil sur l'étagère des boîtes montre que les fabricants Dans l'ensemble, uniformiser les boîtes, c'est-à-dire la même hauteur et le même diamètre Sélectionner. Mais est-ce peut-être uniquement dû aux machines de remplissage standard? Ou parce que les canettes sont faciles à manipuler dans la forme choisie ?
- Ces questions peuvent être vérifiées en mathématiques. En bref, la tâche est: de quel diamètre (ou rayon) et de quelle hauteur avez-vous besoin pour le cylindre de la boîte choisir de manière à ce que le bidon contienne un volume de 0,5 l et la surface (c'est-à-dire la consommation de matière) la plus petite possible volonté.
- Il s'agit d'un problème aux valeurs extrêmes avec une condition principale (la surface doit être minimale) avec une condition secondaire (le volume est de 0,5 = 500 cm³).
- Avec des problèmes comme celui-ci, vous devez d'abord mettre en place les conditions principales et secondaires sous forme d'équations. Dans ce cas, le rayon r du cercle de cylindre et la hauteur h du cylindre sont les deux inconnues (que vous voulez calculer).
- Vous pouvez rechercher les formules du volume V et de la surface F d'un cylindre dans le formulaire. Notez que la surface d'un cylindre se compose de deux cercles et d'un rectangle (l'enveloppe du cylindre).
- Ce qui suit s'applique: V = r² * h = 500 cm³ comme condition secondaire et F = 2 r² + 2 r * h comme la principale condition qui doit être minime.
- La condition principale contient initialement les deux inconnues r et h. A partir de la condition secondaire, vous pouvez maintenant séparer l'une des deux inconnues (h est utile car il est plus facile à calculer) et l'insérer dans la condition principale. La procédure est similaire à substituer deux équations à deux inconnues. Seulement ici vous l'avez Les fonctions à faire.
- Vous obtenez h = 500 / ¶ r² (les cm³ sont laissés de côté pour la suite du calcul; le résultat est ensuite calculé dans l'unité "cm") et mis celui-ci dans la surface F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, c'est-à-dire que la surface de votre bidon ne dépend plus que du rayon.
- Selon la tâche, la surface doit être minimale, vous recherchez donc une valeur extrême de cette fonction.
- Pour ce faire, dérivez F (r) en fonction de la variable r et définissez la dérivée à zéro.
- Calculer F « (r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (vous pouvez consulter la dérivée de 1 / r dans le formulaire si vous ne connaissez pas).
- Ce qui suit s'applique à un extremum: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- À partir de là, vous calculez r³ = 250 / ¶ et r = 4,3 cm (troisième racine sur TR). Votre boîte minimale a un diamètre de près de 9 cm.
- Vous pouvez maintenant calculer la hauteur h de la boîte à partir de la condition secondaire (cf. Point 8.) à h = 8,6 cm. Le diamètre et la hauteur correspondent donc.
Vous connaissez certaines tailles d'un cylindre comme le diamètre ou...
Mathématiques et réalité - remettre en question le résultat de manière critique
Mais une bière peut-elle vraiment ressembler à ça, à peu près aussi haute que large? La vie quotidienne contredit le résultat de la mathématiques Clairement, les bidons sont relativement plus hauts, donc plus étroits et bien sûr plus maniables. Il n'est pas certain que les souhaits du client soient ici au premier plan. Et quelque chose d'autre doit être pris en compte: les canettes de bière ne sont pas remplies jusqu'au sommet, c'est-à-dire plus grandes que 500 ml. De plus, la forme idéale du cylindre est bien entendu donnée.
- Pourtant, quelque chose n'a pas été pris en compte en matière de consommation de matière: il y a du gaspillage! Il est créé lorsque les cercles sont coupés. On ne sait pas si elle sera fondu à nouveau ou mis au rebut. Dans tous les cas, c'est une perte pour l'entreprise. Peut-être recalculerez-vous la tâche de valeur extrême de la boîte optimale en tenant compte de ces déchets.
- Ensuite, vous n'avez pas besoin de deux cercles pour la surface, mais de deux carrés en plus de la surface du cylindre rectangulaire. Le résultat pour ce cas est r = 4 cm et h = 10 cm, donc la boîte devient plus étroite et plus haute. C'est étonnant !
