Eksponentiaalinen funktio: Johtaminen käyttämällä erotussuhdetta

Alustava huomautus: Yleensä eksponenttifunktion johdannainen on f (x) = e^x käänteisen funktionsa, luonnollisen logaritmin, avulla. Tässä tapauksessa se on kuitenkin tehtävä "kokonaan jalan" yli erosuhteen raja -arvon.

Ero -osamäärässä on johdannainen raja -arvona

1. Minkä tahansa funktion f (x) erotussuhde voidaan esittää muodossa [f (x + h) - f (x)] / h. Jos apumuuttuja "h" lähestyy nollaa, funktion derivaatta f '(x) saadaan ero -osamäärästä raja -arvona.
2. Eksponenttifunktiolle f (x) = e^x Tästä seuraa seuraava erosuhde: [e^x+ h - e^x] / h, jonka voit muuntaa edelleen [e^x_*e^H - e^x] / h = e^x _* [e^H - 1] / h.
3. Eksponenttifunktion johdannainen f '(x) voidaan saada ottamalla tämän lausekkeen raja "h" kohti nollaa. Kuten alla on esitetty, [esim^H - 1] / h lähestyy arvoa "1", joten f '(x) = e^x tahtoa. Eksponenttifunktion johdannainen on siis alkuperäisen funktion mukainen.

Eksponentiaalinen funktio - tutkittu tarkemmin

Rajanylityspaikassa johdannaisen laskemista varten se, että lauseke [esim^H - 1] / h on raja -arvo "1", jos apumuuttuja "h" pyrkii kohti nollaa. Mutta miksi se on näin?

• Helpoin tapa selvittää [esim^H - 1] / h Selvyyden vuoksi on luonnollista käyttää laskin laskea tämä lauseke yhä pienemmille arvoille "h" (esimerkiksi h = 1/100, h = 1/1000 jne.). Nopeasti käy ilmi, että se todella lähestyy "1". Tämä ei kuitenkaan ole matemaattinen todiste.
• Toinen mahdollisuus on arvioida eksponentiaalinen funktio pienille argumenteille. Nimittäin e^H = 1 + h + h² / 2... Tämä sarjakehitys voidaan luottavaisesti katkaista 2 tai 3 termin jälkeen, koska "h" on pieni. Jos laitat tämän arvion lausekkeeseen [esim^H - 1] / h, saadaan [1 + h + h² / 2-1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2], jos lyhennetään nimittäjällä. Raja -arvona tämä lauseke on itse asiassa "1" h: lle kohti nollaa.