Lineaarsete võrrandisüsteemide Gaussi algoritm selgitatakse lühidalt

instagram viewer

Keskkoolis keskkoolis kohtute esimest korda lineaarsete võrrandisüsteemidega. Edaspidi puutute ikka ja jälle kokku lineaarsete võrrandite süsteemidega, tingimusel et otsustate tehnilise ameti üle või seisate sageli silmitsi matemaatiliste probleemidega. Gaussi algoritmi kasutatakse võrrandisüsteemide lihtsaks ja üheselt mõistetavaks lahendamiseks.

Lineaarsete võrrandisüsteemide abil saate asjadest ilma jääda!
Lineaarsete võrrandisüsteemide abil saate asjadest ilma jääda!

Mida sa vajad:

  • Lahendusskeem
  • matemaatika põhiteadmised
  • Pliiats
  • paber

Huvitavad faktid lineaarsete võrrandite süsteemide kohta

Kui rebite mõiste „lineaarne võrrandisüsteem” üksikuteks sõnakomponentideks lahti, saate juba lihtsa ettekujutuse sellest, mis on LGS.

  • LGS koosneb mitmest lineaarsest Võrrandid, milles esinevad mitmesugused esialgu tundmatud parameetrid. Lineaarne tähendab, et parameetreid pole üheski Potentsiaalid vastavalt juur esinemine. Näiteks võrrand x1+ 2x22 = 3 ei saa olla osa lineaarsest võrrandisüsteemist, kuna parameeter x2 esineb teises astmes.
  • Erinevaid võrrandeid saab seadistada modelleerimise teel või need lihtsalt ülesandes esitada. Näide: veoauto kohaletoimetamisel on kolm osa (x 1, x2, x3) tarnitud, mille hinnad lk1 = 1 euro, lk2 = 2 eurot ja lk3 = Võta 3 eurot. Kohaletoimetamise koguväärtus on 1000 eurot. Selle teabe saab kokku võtta võrrandiga 1x1+ 2x2+ 3x3 = 1000, kus x1, x2 ja x3 vastavad kolme osa esialgu teadmata kogustele.
  • Sel viisil saab seadistada täiendavaid võrrandeid. Selles näites oleks mõeldav osade ruumivajadus ja veoki maht.
  • Pärast kõigi lineaarvõrrandite seadistamist saab LGS -i lahendada, st tundmatu parameetri x määramise1, x2 ja x3. Siin tuleb mängu Gaussi algoritm, mille abil saate LGS -i samm -sammult lahendada vastavalt selgelt määratletud skeemile.
    • Lineaarse optimeerimise simpleksmeetod on lihtsalt selgitatud

    Lineaarne optimeerimine seisneb nappide ressursside optimaalses jaotamises ...

  • Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamiseks on kolm võimalust. Kui olete veidi kogenum, näete juba enne lahendusskeemi rakendamist, kas LGS -il on üks, puudub või lõpmatu arv lahendusi.
  • LGS kahe võrrandiga x1+ x2 = 1 ja x1+ 2x2 Näiteks = 1 -l pole lahendust, sest mõlemat võrrandit ei saa korraga rahuldada. On täpselt üks lahendus, kui tundmatute parameetrite arv on võrdne võrrandite arvuga, pole vastuolu ja kõik võrrandid (igaüks paarikaupa) on lineaarselt sõltumatud. LGS -ile kuuluva maatriksi auaste on siis täpselt võrdne tundmatute arvuga. Kui auaste on väiksem, on lahendusi lõpmatult palju (vt näidet).

Näide Gaussi algoritmi rakendamisest

  1. Ülesande modelleerimisel on teil kolm võrrandit 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2 korda2-x3 = 2 ja -4x1-2 korda2+ 6x3 = -12 seadistatud.
  2. Nüüd kirjutage need kolm võrrandit üksteise alla. Gaussi algoritmi rakendades kõrvaldate muutujad järk -järgult. Nad teavad, et elementaarjoonte teisendused ei muuda lahenduste ruumi.
  3. Nüüd kirjutage esimene võrrand muutmata kujul. Korrutage teine ​​ja kolmas võrrand nii, et kui need esimesele reale lisada, pole neil uutel võrranditel x -i1 sisaldama rohkem. Nii korrutate teise võrrandi -2 -ga (x -i tõttu1 teises võrrandis ja 2x1 esimeses võrrandis) ja lisage need esimesele reale. Samuti jagage kolmas võrrand kahega ja lisage see esimesele võrrandile.
  4. Järgmises etapis on teil kaks võrrandit, milles on ainult parameetrid x2 ja x3 Hüppa üles. Nüüd kirjutage teine ​​võrrand üles ja korrutage kolmas võrrand nii, et teisele võrrandile lisades x2 elimineeritakse. Kui teil oli muid võrrandeid, jätkake samamoodi.
  5. Viimases võrrandis on teil ainult muutuja x3 mille saate nüüd kindlaks teha. Tulemuse ühendamine ülejäänud kahe võrrandiga annab teile x väärtused2 ja x1.
  6. Selles näites on aga erijuhtum. Kui jagate kolmandas võrrandis 2 -ga ja lisate selle esimesse võrrandisse, saate ainult 0x1+ 0x2+ 0x3 = 0. Selle põhjus on lihtne: võrrand 1 ja võrrand 3 sõltuvad lineaarselt, sest kolmas võrrand saadakse esimese võrrandi korrutamisel -2 -ga.
  7. Võite nulljoone ületada ja teada, et auaste on ainult 2 ja LGS -il on lõpmatu arv lahendusi, eeldusel, et pole vastuolu.
  8. Nii et pärast samme 3 ja 6 on teil kaks võrrandit 2x1+ x2-3x3 = 6 ja 5x2-x3 = 2. Teil on teatud vabadusaste. Seega anna x1 ja x2 olenevalt x -st3 ja sa oled seal.
  9. Teine võrrand eeldab x -i2 = 2/5 + 1/5x3.
  10. Kui paned x2 esimesesse võrrandisse saame: 2x1+ 2/5 + 1/5x3-3x3 = 6. Eraldusvõime x -ni1 tulemuseks: x1 = 14/5 + 7/5x3.
  11. Lahendusruum laseb seega läbi L = {(14/5 + 7 / 5x3; 2/5 + 1/5x3; x3)} märkida. Lahendusi on lõpmata palju. X jaoks3 = 1, näiteks lahus (21/5; 3/5; 1). Testina võite selle lahenduse ühendada algsete võrranditega ja leiate, et see lahendus on tegelikult LGS -i lahendus.

Käivitage Gaussi algoritm järgmistes näidetes selle sisestamiseks. Arvväärtusi saate ise määrata.

Kui kasulik see artikkel teile on?

click fraud protection