Eksponentsiaalne funktsioon: tuletamine erinevuste jagatise abil

Sissejuhatav märkus: Tavaliselt on eksponentfunktsiooni tuletis f (x) = e^x oma pöördfunktsiooni, loodusliku logaritmi abil. Siin tuleks aga seda teha "täiesti jalgsi" üle erinevuste jagatise piirväärtuse.

Erinevuste jagatise piirväärtus on tuletis

1. Mis tahes funktsiooni f (x) erinevuste jagatist saab esitada kujul [f (x + h) - f (x)] / h. Kui abimuutuja "h" läheneb nullile, saadakse funktsiooni tuletis f '(x) piirväärtusena.
2. Eksponentfunktsiooni jaoks f (x) = e^x Selle tulemuseks on järgmine erinevuste jagatis: [e^x+ h - nt^x] / h, mille saate teisendada [e^x_*e^H - e^x] / h = e^x _* [e^H - 1] / h.
3. Eksponentfunktsiooni tuletise f '(x) saab saada, kui selle väljendi piirväärtus "h" jaoks nullini suunata. Nagu allpool näidatud, [e^H - 1] / h läheneb väärtusele "1", nii et f '(x) = e^x tahe. Eksponentfunktsiooni tuletus on seega algse funktsiooniga kooskõlas.

Eksponentsiaalne funktsioon - uuritud üksikasjalikumalt

Piiriületusel kasutati tuletisinstrumendi arvutamisel asjaolu, et väljend [e^H - 1] / h on piirväärtus "1", kui abimuutuja "h" kaldub nulli poole. Aga miks see nii on?

• Lihtsaim viis saada teada [e^H - 1] / h Selguse tagamiseks on loomulik kasutada kalkulaator selle avaldise arvutamiseks üha väiksemate "h" väärtuste jaoks (näiteks h = 1/100, h = 1/1000 jne). Kiiresti selgub, et see läheneb tegelikult "1" -le. See pole aga matemaatiline tõestus.
• Teine võimalus on hinnata väikeste argumentide eksponentsiaalset funktsiooni. Nimelt e^H = 1 + h + h² / 2... Selle seeriaarenduse saab enesekindlalt katkestada pärast 2 või 3 tähtaega, sest "h" peaks olema väike. Kui panna see hinnang avaldis [nt^H - 1] / h, saab nimetaja abil lühendi [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2]. Piirväärtusena on see avaldis tegelikult n 1 suunas.