Independencia lineal de funciones

Las funciones también pueden ser linealmente independientes

Además de los vectores de espacio bidimensional o tridimensional con los que está familiarizado, existen otros conjuntos que cumplen las condiciones de un espacio vectorial. Un ejemplo son todos continuos Funciones sobre lo real Contando R. (No es necesario que sepas cuáles son las condiciones de un espacio vectorial para comprender esto mejor).

• En un contexto funcional, la independencia lineal significa que el conjunto de funciones f_I se acumula o un subconjunto completo de esto. En otras palabras: cualquier función, por arbitraria que sea, puede usarse como una combinación lineal de estas funciones básicas f_I representar.
• Así como puede examinar un conjunto de vectores para determinar su independencia lineal, puede hacer lo mismo con un conjunto de funciones. En pocas palabras, un conjunto de funciones f
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  _I luego linealmente independiente si no puede representar ninguna de estas funciones como una combinación lineal de las otras funciones.
• Matemáticamente, para la independencia lineal se sostiene que la ecuación ∑ a_I * f_I = 0 solo se puede cumplir si todos (!) Coeficientes reales a_I = 0. Esta última expresión matemática es también un criterio de prueba para el conjunto de funciones f_I. Así que al final, al igual que con los vectores, tienes que encontrar una ecuación con las incógnitas a_I investigar.

Independencia lineal - ejemplos

• Un ejemplo que a menudo se elige para un conjunto de funciones continuas sobre R que son linealmente independientes es f₁(x) = x², f₂(x) = e^X yf₃(x) = e^-X. Incluso una consideración preliminar muestra que ninguna de estas tres funciones puede ser expresada por las dos restantes. En términos generales, las funciones dadas son demasiado diferentes. También la ecuación a₁x² + a₂mi^X * a₃mi^-X = 0 solo se puede resolver si todos los coeficientes son_I = 0.


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• Las dos funciones f₁(x) = sen 2x, f₂Sin embargo, (x) = sinx * cos x son linealmente dependientes, porque puedes convertir la función del ángulo doble en la segunda función con la ayuda de una fórmula.
• El conjunto (infinito) de funciones f_I(x) = x^I, donde el índice i son los números 0,1,2... atraviesa, por cierto, forma una base linealmente independiente del espacio vectorial de las funciones completamente racionales. La independencia lineal de f_I se puede ver fácilmente. La llamada Determinante de Vronsky.