VIDEO: Resolviendo problemas simples de valores extremos

Modelando los problemas de valores extremos

• Primero debe configurar una ecuación funcional f, que depende de un parámetro, generalmente se usa x. x denota la variable y la incógnita que se debe elegir para que al final se logre un resultado máximo o mínimo para el problema de valor extremo.
• x puede z. B. representa la longitud de una mesa o el peso de un ladrillo.
• Entonces tienes z. B. una función de la forma f (x) = 2x³-4x + 3 encontrado.
• Pero también puede ser que la función dependa de dos o más variables en el primer paso, p. Ej. B. f (x, y) = 5x²-2xy + 3y-6.
• Ahora debe encontrar una restricción que especifique una variable en función de la otra variable. Se aplica, p. Ej. B. y = 2x + 2, entonces puedes insertar esta y en la ecuación de la función y ahora obtienes una ecuación de función simple que solo depende de x. En este ejemplo, después de multiplicar y combinar, esto sería: f (x) = 5x²-2x (2x + 2) +3 (2x + 2) -6 = x²+ 2x + 6.


Que es arctan

El arctan es la función inversa de la tangente en el intervalo] -pi / 2, pi / 2 [. Es decir …

• Este ejemplo se examina más adelante.

Diferenciación simple: así es como funciona

• Una vez que haya encontrado la ecuación de la función que modela su problema de valor extremo, todo lo que necesita hacer es encontrar el valor especial para x que minimiza o maximiza su función.
• Para hacer esto, debes tomar la primera derivada de la función con respecto a x. Para ello, es posible que necesite la regla del producto, el cociente o la cadena, según la dificultad de la ecuación de la función. Si ya no está familiarizado con esto en la escuela, puede encontrarlo en reglas de derivación simples en fórmulas o libros populares.
• En nuestro ejemplo, ahora obtenemos la función derivada f '(x) = 2x + 2.
• Tienes que saber que solo puede haber un punto extremo donde se cumpla la condición f '(x) = 0.
• Entonces, en el siguiente paso, debe establecer la derivada igual a 0. En este ejemplo, esto sería 0 = f '(x) = 2x + 2 <=> 2x = -2 <=> x = -1.
• En el punto x = -1 hay, por tanto, un candidato para un punto extremo.
• Por supuesto, podría haber múltiples candidatos para sus problemas de valores extremos. Estos también deben comprobarse individualmente en el siguiente paso. En este sencillo ejemplo, solo hay un candidato.

Diferenciación simple exitosa: ¿ahora qué?

• Para saber si hay puntos extremos simples en los puntos determinados, se debe formar la segunda derivada.
• Hay tres posibilidades: se aplica f '' (x) <0, aquí hay un máximo local. O bien: se aplica f '' (x)> 0, aquí hay un mínimo local. O: f '' (x) = 0, no hay un punto extremo aquí (es el llamado punto silla).
• En el ejemplo simple que se analiza aquí, la segunda derivada debe examinarse en el punto x = -1. En primer lugar, f '' (x) = 2. Entonces también f '' (- 1) = 2.
• Debido a que f '' (- 1)> 0 hay un mínimo local en el punto x = -1.
• Si ha encontrado otros candidatos para sus problemas de valores extremos, ahora también debe verificar para cada candidato si existe un punto extremo y de qué tipo es.

Como puede ver, es muy fácil encontrar una solución a la mayoría de los problemas de valor extremos. La mayor dificultad radica únicamente en establecer la ecuación funcional correcta para el problema de valor extremo respectivo.