VIDEO: La lata óptima
La lata óptima: un problema de valor extremo
Los fabricantes quieren utilizar la menor cantidad de material posible para las latas y las latas de cerveza deben ser útiles. Entonces, ¿cómo tienen que hacerlo? Dimensiones ¿Debe seleccionarse una lata cilíndrica con una capacidad de 0,5 l de modo que se necesite la menor cantidad de material posible? ¿Y los fabricantes se adhieren en absoluto a estas dimensiones óptimas? Esta tarea suena absurda al principio, porque un vistazo al estante de latas muestra que los fabricantes En general, uniformar las latas, es decir, de la misma altura y diámetro. Seleccione. Pero, ¿es esto quizás solo debido a las máquinas llenadoras estándar? ¿O porque las latas son fáciles de manipular en la forma elegida?
- Estas preguntas se pueden verificar en matemáticas. En resumen, la tarea es: qué diámetro (o radio) y qué altura necesita para el cilindro de lata Elija de modo que la lata tenga un volumen de 0,5 ly la superficie (es decir, el consumo de material) sea lo más pequeña posible voluntad.
- Este es un problema de valor extremo con una condición principal (la superficie debe ser mínima) con una condición secundaria (el volumen es 0.5 = 500 cm³).
- Con problemas como este, primero debe configurar las condiciones principal y secundaria como ecuaciones. En este caso, el radio r del círculo del cilindro y la altura h del cilindro son las dos incógnitas (que desea calcular).
- Puede buscar las fórmulas para el volumen V y la superficie F de un cilindro en el formulario. Observe que la superficie de un cilindro consta de dos círculos y un rectángulo (la camisa del cilindro).
- Se aplica lo siguiente: V = ¶ r² * h = 500 cm³ como condición secundaria y F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h como condición principal que debería ser mínima.
- La condición principal contiene inicialmente las dos incógnitas r y h. De la condición secundaria, ahora puede separar una de las dos incógnitas (h es útil porque es más fácil de calcular) e insertarla en la condición principal. El procedimiento es similar a sustituir dos ecuaciones con dos incógnitas. Solo aqui lo tienes Funciones hacer.
- Obtiene h = 500 / ¶ r² (los cm³ se dejan fuera para el cálculo posterior; el resultado se calcula en la unidad "cm") y se coloca en la superficie F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, eso significa que la superficie de su lata ahora solo depende del radio.
- Según la tarea, la superficie debe ser mínima, por lo que se busca un valor extremo de esta función.
- Para hacer esto, derive F (r) de acuerdo con la variable r y establezca la derivada en cero.
- Calcula F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (puede buscar la derivación de 1 / r en el formulario si no lo sabe).
- Lo siguiente se aplica a un extremo: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- A partir de esto se calcula r³ = 250 / ¶ y r = 4,3 cm (tercera raíz en TR). Tu caja mínima tiene un diámetro de casi 9 cm.
- Ahora puede calcular la altura h de la lata a partir de la condición secundaria (cf. Punto 8.) ah = 8,6 cm. Por tanto, el diámetro y la altura coinciden.
Conoces algunos tamaños de un cilindro como el diámetro o ...
Matemáticas y realidad: cuestionar críticamente el resultado
Pero, ¿realmente una cerveza puede verse así, tan alta como ancha? La vida cotidiana contradice el resultado de la matemáticas Claramente, las latas son relativamente más altas, más estrechas y, por supuesto, más manejables. Sigue siendo incierto si los deseos del cliente están en primer plano aquí. Y hay que tener en cuenta algo más: las latas de cerveza no se llenan hasta el tope, es decir, de más de 500 ml. Además, por supuesto, se proporciona la forma ideal del cilindro.
- Sin embargo, algo no se tuvo en cuenta en lo que respecta al consumo de material: ¡hay desperdicio! Se crea cuando se cortan los círculos. No se sabe si se volverá a fundir o se eliminará. En cualquier caso, es una pérdida para la empresa. Quizás recalcule la tarea de valor extremo de la lata óptima teniendo en cuenta este desperdicio.
- Entonces no necesitas dos círculos para la superficie, sino dos cuadrados además de la superficie del cilindro rectangular. El resultado para este caso es r = 4 cm y h = 10 cm, por lo que la lata se vuelve más estrecha y más alta. ¡Eso es asombroso!
