Eksponentiel funktion: Afledning ved hjælp af differenskvotienten

Indledende bemærkning: Normalt er derivatet af den eksponentielle funktion f (x) = e^x ved hjælp af dens omvendte funktion, den naturlige logaritme. Her skal det dog gøres "helt til fods" over differenskvotientens grænseværdi.

Differenskvoten har derivatet som grænseværdi

1. Differenskvotienten for enhver funktion f (x) kan repræsenteres i formen [f (x + h) - f (x)] / h. Hvis hjælpevariablen "h" nærmer sig nul, hentes funktionens derivat f '(x) fra differenskvotienten som grænseværdi.
2. For den eksponentielle funktion f (x) = e^x Dette resulterer i følgende forskelskvotient: [e^x+ h - e^x] / h, som du yderligere kan konvertere til [e^x_*e^H - e^x] / h = e^x _* [e^H - 1] / t.
3. Derivaten f '(x) af den eksponentielle funktion kan opnås ved at tage grænsen for dette udtryk for "h" mod nul. Som vist nedenfor [e^H - 1] / h nærmer sig værdien "1", så f '(x) = e^x vilje. Afledningen af ​​den eksponentielle funktion stemmer derfor overens med den oprindelige funktion.

Eksponentiel funktion - undersøgt nærmere

Ved grænseovergangen til beregning af derivatet blev der gjort brug af, at udtrykket [e^H - 1] / h har grænseværdien "1", hvis hjælpevariablen "h" har tendens til nul. Men hvorfor er det sådan?

• Den nemmeste måde at finde ud af om [e^H - 1] / h For at give klarhed er det naturligt at bruge lommeregner at beregne dette udtryk for stadig mindre værdier af "h" (f.eks. h = 1/100, h = 1/1000 osv.). Det bliver hurtigt tydeligt, at det faktisk nærmer sig "1". Dette er imidlertid ikke et matematisk bevis.
• En anden mulighed er at estimere den eksponentielle funktion for små argumenter. Nemlig e^H = 1 + h + h² / 2... Denne serieudvikling kan med sikkerhed afbrydes efter 2 eller 3 vilkår, fordi "h" skal være lille. Hvis man sætter dette skøn i udtrykket [e^H - 1] / t, man får [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2], hvis man forkortes af nævneren. Som en grænseværdi er dette udtryk faktisk "1" for h mod nul.