VIDEO: Optimální plechovka

instagram viewer

Optimální plechovka - extrémní problém s hodnotou

Výrobci chtějí na plechovky použít co nejméně materiálu a plechovky od piva by měly být po ruce. Jak tedy musí? Rozměry měla by být vybrána válcová plechovka o objemu 0,5 l tak, aby bylo zapotřebí co nejméně materiálu? A dodržují výrobci vůbec tyto optimální rozměry? Tento úkol zní zpočátku nesmyslně, protože pohled na polici plechovek ukazuje, že výrobci Celkově dejte plechovky jednotné, tj. Stejnou výšku a průměr Vybrat. Je to ale možná jen díky standardním plnícím strojům? Nebo proto, že se s plechovkami ve zvoleném tvaru snadno manipuluje?

  1. Tyto otázky lze ověřit v matematice. Stručně řečeno, úkol zní: jaký průměr (nebo poloměr) a jakou výšku potřebujete pro válec plechovky volte tak, aby plechovka pojala objem 0,5 l a povrch (to je spotřeba materiálu) co nejmenší vůle.
  2. Jedná se o extrémní problém s hodnotou u hlavní podmínky (povrch by měl být minimální) se sekundárními podmínkami (objem je 0,5 = 500 cm³).
  3. U takovýchto problémů musíte nejprve nastavit hlavní a vedlejší podmínky jako rovnice. V tomto případě jsou poloměr r kruhu válce a výška h válce dvě neznámé (které chcete vypočítat).
  4. Vzorce pro objem V a povrch F válce můžete vyhledat ve formuláři. Všimněte si, že povrch válce se skládá ze dvou kruhů a obdélníku (plášť válce).
    5. Vypočítejte výšku válce

    Znáte některé velikosti válce, jako je průměr nebo ...

  5. Platí následující: V = ¶ r² * h = 500 cm³ jako sekundární podmínka a F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h jako hlavní podmínka, která by měla být minimální.
  6. Hlavní podmínka zpočátku obsahuje dvě neznámé r a h. Ze sekundární podmínky nyní můžete oddělit jednu ze dvou neznámých (h je užitečné, protože je jednodušší ji vypočítat) a vložit ji do hlavní podmínky. Postup je podobný nahrazení dvou rovnic dvěma neznámými. Pouze tady to máte Funkce dělat.
  7. Získáte h = 500 / ¶ r² (cm³ jsou pro další výpočet vynechány; výsledek se poté vypočítá v jednotce „cm“) a vložte na povrch F.
  8. F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, to znamená, že povrch vaší plechovky nyní závisí pouze na poloměru.
  9. Podle zadání by měl být povrch minimální, takže hledáte extrémní hodnotu této funkce.
  10. K tomu odvodíme F (r) podle proměnné r a derivát nastavíme na nulu.
  11. Vypočítáte F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (derivaci 1 / r můžete vyhledat ve vzorci, pokud nevíte).
  12. Pro extrém platí následující: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
  13. Z toho vypočítáte r³ = 250 / ¶ a r = 4,3 cm (třetí kořen na TR). Vaše minimální krabice má průměr téměř 9 cm.
  14. Nyní můžete vypočítat výšku h plechovky ze sekundární podmínky (srov. Bod 8.) až h = 8,6 cm. Průměr a výška se proto shodují.

Matematika a realita - kriticky zpochybněte výsledek

Může ale pivo opravdu vypadat takto, zhruba tak vysoko, jak je široké? Každodenní život je v rozporu s výsledkem matematika Je jasné, že plechovky jsou relativně vyšší, takže užší a samozřejmě lépe ovladatelné. Zůstává nejisté, zda je zde v popředí přání zákazníka. A je třeba vzít v úvahu ještě něco: Pivní plechovky nejsou plněny, tj. Větší než 500 ml. Navíc je samozřejmě daný ideální tvar válce.

  • Při spotřebě materiálu však nebylo něco vzato v úvahu: existuje odpad! Vytváří se řezáním kruhů. Není známo, zda bude znovu roztaven nebo zlikvidován. V každém případě je to pro společnost ztráta. Možná přepočítáte extrémní hodnotový úkol optimální plechovky s přihlédnutím k tomuto odpadu.
  • Pak pro povrch nepotřebujete dva kruhy, ale kromě obdélníkového povrchu válce ještě dva čtverce. Výsledkem pro tento případ je r = 4 cm a h = 10 cm, takže plechovka bude užší a vyšší. To je ohromující!
click fraud protection