المشتق: ln (ln (x))

اشتقاق وظائف متداخلة

تتداخل الدالة f (x) = ln (ln (x)) لأنك تحصل على قيمة الدالة من خلال تنفيذ جملتين مختلفتين واحدة تلو الأخرى. بافتراض أنك تريد تكوين f (2) ، عليك أولاً حساب ln 2 ، وهو 0.69.. ثم ln 0.69... لذلك تحصل على قيمة الدالة - 0.37.

• يتحدث أحد في الرياضيات من سلسلة دالة داخلية في حالة ln x ووظيفة خارجية هي أيضًا ln. للتوضيح ، g (x) = (x²+1)³ سيكون أيضًا وظيفة متداخلة. الوظيفة الداخلية هي i (x) = x²+ 1 والخارجي ä (x) = i (x)³. يوضح هذا المثال المبدأ بشكل أكثر وضوحًا من الوظيفة اللوغاريتمية.
• مثل المهام يتم اشتقاقها وفقًا لقاعدة السلسلة. تحتاج إلى اشتقاق الدالة الخارجية وضربها في مشتق الدالة الداخلية. لذلك إذا كانت g (x) = ä (i (x)) ، فإن g '(x) = g' (i (x)) * i '(x). للتوضيح: g (x) = (x²+1)³ => ز '(س) = 3 (س²+1)² * 2 x ، حيث g '(i (x)) = 3 (x²+1)² و أنا '(س) = 2 س.

مشتق الدالة g (x) = (x²+1)³ يمكنك بالطبع البناء بدون قاعدة السلسلة ، لأنه يمكنك ضرب الأقواس. هذه الطريقة لا تترك لك مع الوظيفة اللوغاريتمية.

تطبيق قاعدة السلسلة على ln (ln (x))

مشتق In x هو 1 / x. علاوة على ذلك ، f (x) = ln (ln (x)). في هذه الحالة i (x) = ln x و ä (x) = ln (i (x).

1. أولًا شكل المشتق الداخلي i '(x). إذن هذا 1 / x.
2. ثم احسب ä '(x) ، أي المشتق الخارجي. هذا هو 1 / i (x) t ، أي 1 / ln (x) ، لأن i (x) هو ln (x).
3. الآن لا توجد مشكلة في تكوين f '(x): f' (x) = ä '(x) * i' (x) = 1 / ln (x) * 1 / x.
4. يمكنك تلخيص هذا الناتج وفقًا لقاعدة البسط مضروبًا في البسط بالمقام مضروبًا في المقام. إذن تحصل على g '(x) = 1 / (x (ln (x)).