Silindirik bir ağaç gövdesinden ...
"Silindirik bir ağaç gövdesinden ...", diferansiyel hesabın yardımıyla çözmeniz gereken iyi bilinen bir aşırı değer problemini başlatır. Ama burada nasıl devam edebilirsiniz?
Aşırı değer problemleri nelerdir?
Bu tür görevlere aşırı değerli görevler, maksimum değer hesaplamaları veya sadece optimizasyon problemleri demenizden bağımsız olarak, her zaman gerçek bir boyut - alan, hacim veya akış veya yük kapasitesi - mümkün olduğunca büyük, yani maksimum niyet. Prosedürün prensibi her zaman aynıdır:
- Çoğu durumda, genel bir bakış elde etmek için görevin kısa bir taslağını yapmalısınız. Duruma bağlı olarak, oraya uzunlukları veya diğer boyutları girebilirsiniz.
- Şimdi sözde ayarlayın. Amaç işlevi açık, yani görevde maksimum (veya bazen de minimum) olması gereken boyuttur. Bu, örneğin alan, hacim veya açı olmak. Metni dikkatlice okuyun.
- Bu amaç fonksiyonu genellikle birden fazla bilinmeyen içerir, genel olarak bağlı olduğu iki değer vardır, örneğin bir yüzeyin genişliği ve uzunluğu.
- Bu iki bilinmeyenden birini değiştirmek için, sözde bilinmeyenleri çıkarmanız gerekir. İkincil koşulları formüle edin. Burada tabiri caizse verilen devreye giriyor. Bu bir yarıçap, yükseklik veya hatta belirli bir alan olabilir. Burada da göreve yakından bakmanız gerekir, çünkü ikincil koşul genellikle aşağıdaki örnekte olduğu gibi çizimdeki boyutlardan kaynaklanır.
- Şimdi iki bilinmeyenden biri için kısıtlamayı çözün. Hesaplaması daha kolay olan boyutu seçin.
- Şimdi bu değişkeni amaç fonksiyonuna eklersiniz, o zaman sadece bir bilinmeyene bağlıdır (buna güvenle "x" diyebilirsiniz).
- Bu amaç fonksiyonu için bir maksimum değer veya genel olarak uç değer(ler) arıyorsunuz - bu nedenle türev oluşturulmalıdır.
- Bilinmeyene göre amaç fonksiyonunu türet ve türevini = 0, uç bir değer için koşul olarak ayarla.
- Bu denklemden bilinmeyeni hesaplayın. Birden fazla çözümünüz varsa, yine de bir maksimum (veya minimum) (2. Türev).
- Birçok görevde diğer bilinmeyenin de belirlenmesi gerekir. Bunun denklemini ikincil koşuldan biliyorsunuz.
Rasyonel fonksiyonlar, çoğunlukla 11. sınıfta okul matematiğinin konusudur. Okul yılı. NS …
"Silindirik bir kütükten" - bir örnek
d = 30 cm çapında silindirik bir ağaç gövdesinden (bu dairesel bir kesite sahiptir) dikdörtgen kesitli bir kiriş, mümkün olan en yüksek taşıma kapasitesine sahip olacak şekilde kesilmelidir. Vardır.
- Her şeyden önce, çubuğun ve dikdörtgenin çapını da çizdiğiniz bir çizim yapın. Bu arada, burada üç boyutlu bir temsile ihtiyacınız yok; kiriş boyunca bir kesim yeterlidir.
- Şimdi, örneğin, kesitin genişliğini x ile ve çizilen dikdörtgenin yüksekliğini y ile belirtin. Bu dikdörtgende d çapının köşegen olması gerektiğini görebilirsiniz (iyi hatırlayın!).
- Yük taşıma kapasitesi için şimdi bunun genişlik (x) ve yüksekliğin karesi (y²) ile orantılı olduğu geçerlidir. Bunu internette veya teknik bir kitapta okuyabilirsiniz (maalesef bu görevde bir "uçurum"!).
- Bu yük taşıma kapasitesi maksimum olmalıdır, bu nedenle amaç fonksiyonunuzdur ve T (x, y) = x ile olabilir. * y² (gerekli bir orantılılık faktörünü güvenle atlayabilirsiniz).
- Şimdi, belirtilen boyutu (burada "d") içeren ikincil koşula ihtiyacınız var. Çiziminize bir bakış, x² + y² = d²'yi (Pisagor) gösteriyor. Ve y² = d² - x² elde edersiniz. Şimdi bu ilişkiyi amaç fonksiyonuna ekleyin.
- Şunu elde edersiniz: T (x) = x * (d²-x²) = d²x-x³; amaç fonksiyonu sadece bilinmeyen "x"e bağlıdır ve türevlenebilir: T '(x) = d² - 3x².
- Uç değeri arıyorsunuz, yani d² - 3x² = 0 ve x = d / √3 = 30 cm / √3 ≈ 17.32 cm (burada ondalık noktanın gerisi yeterlidir), kesit genişliği. Burada negatif köke dikkat etmenize gerek yok.
- y yüksekliğini y² = d² - x²'den y = 24,5 cm'ye alırsınız. Görev çözüldü!
Silindirik ağaç gövdesinden 17,32 cm genişliğinde ve 24,5 cm yüksekliğinde bir dikdörtgen görmelisiniz.
