Exponentiell funktion: Avledning med skillnadskvoten

Preliminär anmärkning: Vanligtvis är härledningen av den exponentiella funktionen f (x) = e^x med hjälp av dess omvända funktion, den naturliga logaritmen. Här bör det dock göras "helt till fots" över gränsvärdet för skillnadskvoten.

Differenskvoten har derivatet som gränsvärde

1. Skillnadskvoten för valfri funktion f (x) kan representeras i formen [f (x + h) - f (x)] / h. Om hjälpvariabeln "h" närmar sig noll, erhålls funktionens derivat f '(x) från skillnadskvoten som gränsvärde.
2. För den exponentiella funktionen f (x) = e^x Detta resulterar i följande skillnadskvot: [e^x+ h - e^x] / h, som du ytterligare kan omvandla till [e^x_*e^H - e^x] / h = e^x _* [e^H - 1] / h.
3. Derivatet f '(x) av den exponentiella funktionen kan erhållas genom att ta gränsen för detta uttryck för "h" mot noll. Som visas nedan [e^H - 1] / h närmar sig värdet "1", så att f '(x) = e^x kommer. Avledningen av den exponentiella funktionen överensstämmer därför med den ursprungliga funktionen.

Exponentiell funktion - granskas mer i detalj

Vid gränsövergången för beräkning av derivatet, det faktum att uttrycket [e^H - 1] / h har gränsvärdet "1" när hjälpvariabeln "h" tenderar mot noll. Men varför är det så?

• Det enklaste sättet att ta reda på beteendet hos [e^H - 1] / h För att ge tydlighet är det naturligt att använda kalkylator att beräkna detta uttryck för allt mindre värden på "h" (till exempel h = 1/100, h = 1/1000 etc.). Det blir snabbt uppenbart att det faktiskt närmar sig "1". Detta är dock inte ett matematiskt bevis.
• En annan möjlighet är att uppskatta den exponentiella funktionen för små argument. Nämligen e^H = 1 + h + h² / 2... Denna serieutveckling kan med säkerhet brytas efter 2 eller 3 termer, eftersom "h" borde vara liten. Om man sätter denna uppskattning i uttrycket [e^H - 1] / h, man får [1 + h + h² / 2 - 1] / h = [h + h² / 2] / h = [1 + h / 2] om man förkortar av nämnaren. Som ett gränsvärde är detta uttryck faktiskt "1" för h mot noll.