Förklarad effektserieutvidgning av en funktion

instagram viewer

Många funktioner kan omvandlas till en kraftserie genom en lämplig omvandling. Men hur fungerar detta exakt och vad bör man tänka på? Du kommer att se att utbyggnaden av kraftserien inte är så svår om du fortsätter enligt ett visst schema och har härlett det själv.

Utveckling av en funktion i en Mac Laurin -serie

Naturligtvis kan inte alla godtyckliga funktioner utvecklas till en kraftserie. Snarare måste en funktion uppfylla vissa kriterier så att denna process överhuvudtaget kan användas. Lika bra som alla enkla Funktionersom du möter i vardagen uppfyller dessa kriterier, detta steg utesluts helt enkelt här. Du kommer dock omedelbart att se att den aktuella funktionen i alla fall måste vara differentierbar så ofta som krävs (nödvändigt villkor).

  1. Antag att alla funktioner f kan utökas unikt till en viss effektserie. Då kan denna funktion representeras som en effektfunktion. Följande gäller: f (x) = a0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+...
  2. Först utvecklingspunkten x0 = 0 anses. I miljön runt denna utvecklingspunkt måste funktionen vara differentierbar så ofta som krävs.
  3. Nu kan du Derivat av funktionen. f '(x) = a1+ 2a2x1+ 3a3x2+ 4a4x3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3x1+ 12a4x2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. Vid utvecklingspunkten x0 = 0 då: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Beräkna extrema - så här går det till med polynom

    Beräkna extrema av polynomet och ge det relativa maximalt och minimum ...

  5. Om du tittar noggrant på koefficienterna kommer du att märka att de beter sig som faktorialen (vi har (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... och dessutom (0!) = 1).
  6. Tänk på detta när du utvecklar funktionen, du får f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Om du nu byter om efter koefficienterna får du en0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Du kan se koefficienterna an följa skollagen an = f(n)(0) / n!
  9. Du kan nu överföra dina nya fynd till utmatningsfunktionen f, så f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X gäller1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn. Denna oändliga serie kallas Mac Laurin -serien.
  10. Vad ger denna information dig nu? För alla funktioner som kan utvecklas till en effektfunktion är allt du behöver göra att bestämma derivaten och du kan representera denna funktion som en oändlig serie.

Exempel: power series expansion av f (x) = sin (x)

Det bästa sättet att förstå ovanstående schema är att direkt tillämpa det på ett enkelt exempel. För att göra detta, överväga funktionen f (x) = sin (x). Som du vet kan denna funktion differentieras hur många gånger som helst.

  1. Bestäm först de fyra första avledningarna. Följande gäller: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Härifrån upprepas allt i en cykel av fyra.
  2. Tänk nu på utvecklingspunkten x0 = 0, sedan f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Sätt nu in derivaten i Mac Laurin -serien. f (x) = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5 !+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. Så du får en alternerande serie, vars konvergens du kan bevisa med Leibniz -kriteriet, till exempel. Varannan medlem i serien utelämnas eftersom sin (0) = 0. Du kan bestämma cosinus effektserie helt analogt (lösning: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

Exempel: Expansion av f (x) = ex till en kraftserie

  1. Utvecklingen av ex i en power -serie är särskilt lätt. Vi har f (x) = f(n)(x) = ex ∀ n∈N.
  2. Om du fortsätter enligt samma schema får du på grund av f(n)(0) = e0 = 1 följande rad: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

Från Mac Laurin -serien till Taylor -serien

Med Mac Laurin -serien har du bara den speciella utvecklingspunkten x0 = 0 anses. I nästa steg bör denna begränsning hävas och eventuell utvecklingspunkt x = x * bör övervägas.

  • I princip gör du samma överväganden som när du härleder Mac Laurin -serien.
  • Du får effektserien f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [f(n)(x *) / n!] (x-x *)n med x * som utvecklingspunkt.

För x * = 0 ändras Taylor -serien till Mac Laurin -serien. Mac Laurin -serien är ett specialfall av Taylor -serien. I praktiken är Taylor -serien mycket mer utbredd än Mac Laurin -serien eftersom alla utvecklingscenter är möjliga. För en bättre förståelse och för härledningen är det dock vettigt att först titta på den enklare varianten av serien.

click fraud protection