Гаусов алгоритам линеарних система једначина објашњен укратко

Шта вам је потребно:

• Шема решења
• основна математичка знања
• Хемијска оловка
• папир

Занимљивости о системима линеарних једначина

Ако израз „линеарни систем једначина“ раздвојите на појединачне компоненте речи, већ добијате једноставну представу о томе шта је ЛГС.

• ЛГС се састоји од неколико линеарних Једначине, у којима се јављају различити иницијално непознати параметри. Линеарно значи да параметри не постоје Потенције редом корен појава. На пример, једначина к₁+ 2к₂² = 3 не може бити део линеарног система једначина, будући да је параметар к₂ јавља се у другом степену.
• Различите једначине се могу поставити моделовањем или су једноставно дате у задатку. Пример: У испоруци камиона три дела (к
  instagram viewer
  ₁, Икс₂, Икс₃) испоручено, које цене стр₁ = 1 евро, стр₂ = 2 евра и стр₃ = Имајте 3 евра. Укупна вредност испоруке је 1.000 евра. Ове информације се могу сажети у једначину 1к₁+ 2к₂+ 3к₃ = 1.000, где је к₁, Икс₂ и к₃ одговарају почетно непознатим количинама три дела.
• На овај начин се могу поставити даље једначине. У овом примеру, просторни простор делова и запремина камиона би се могли замислити.
• Након што су постављене све линеарне једначине, ЛГС се може решити, односно утврдити непознати параметар к₁, Икс₂ и к₃. Ту ступа на снагу Гауссов алгоритам, са којим можете решити ЛГС корак по корак према јасно дефинисаној шеми.


Једноставна објашњења симплекс методе линеарне оптимизације

Линеарна оптимизација се односи на оптималну расподелу оскудних ресурса на ...

• Постоје три опције за решавање система линеарних једначина. Ако сте мало искуснији, већ ћете пре примене шеме решења видети да ли ЛГС има једно, никакво или бесконачан број решења.
• ЛГС са две једначине к₁+ к₂ = 1 и к₁+ 2к₂ На пример, = 1 нема решење јер се обе једначине не могу задовољити истовремено. Постоји тачно једно решење ако је број непознатих параметара једнак броју једначина, нема контрадикције и све једначине (свака у паровима) су линеарно независне. Ранг матрице која припада ЛГС -у је тада потпуно једнак броју непознатих. Ако је ранг мањи, постоји бесконачно много решења (види пример).

Пример примене Гаусовог алгоритма

1. Моделирањем проблема имате три једначине 2к₁+ к₂-3к₃ = 6, к₁-2к₂-Икс₃ = 2 и -4к₁-2к₂+ 6к₃ = -12 подешено.
2. Сада напишите ове три једначине једну испод друге. Приликом примене Гаусовог алгоритма, постепено елиминишете променљиве. Они знају да елементарне линијске трансформације не мењају простор решења.
3. Сада запишите прву једначину непромењеном. Помножите другу и трећу једначину тако да, када се додају у први ред, ове нове једначине немају к₁ садрже више. Тако множите другу једначину са -2 (због к₁ у другој једначини и 2к₁ у првој једначини) и додајте их у први ред. Исто тако, поделите трећу једначину на два и додајте је првој једначини.
4. У следећем кораку имате две једначине у којима су само параметри к₂ и к₃ Поп уп. Сада запишите другу једначину и помножите трећу једначину на такав начин да када се дода другој једначини, к₂ се елиминише. Ако сте имали друге једначине, поступите на исти начин.
5. У последњој једначини тада имате само променљиву к₃ које сада можете одредити. Укључивањем резултата у друге две једначине добијате вредности за к₂ и к₁.
6. У овом примеру, међутим, постоји посебан случај. У кораку 3, ако трећу једначину поделите са 2 и додате је првој једначини, добићете само 0к₁+ 0к₂+ 0к₃ = 0. Разлог за то је једноставан: једначина 1 и једначина 3 линеарно зависе, јер се трећа једначина добија множењем прве једначине са -2.
7. Можете прецртати нулту линију и знати да је ранг само 2 и да ЛГС има бесконачан број решења, под условом да нема контрадикција.
8. Дакле, након корака 3 и 6 имате две једначине 2к₁+ к₂-3к₃ = 6 и 5к₂-Икс₃ = 2. Имате степен слободе. Зато дајте к₁ и к₂ у зависности од к₃ и ти си тамо.
9. Друга једначина имплицира к₂ = 2/5 + 1 / 5к₃.
10. Ако ставите х₂ у прву једначину добијамо: 2к₁+ 2/5 + 1 / 5к₃-3к₃ = 6. Резолуција до к₁ резултира у: к₁ = 14/5 + 7 / 5к₃.
11. Простор решења тако пропушта Л = {(14/5 + 7 / 5к₃; 2/5 + 1 / 5к₃; Икс₃)} означити. Постоји бесконачан број решења. За к₃ = 1, на пример, решење (21/5; 3/5; 1). Као тест, ово решење можете укључити у оригиналне једначине и открићете да је ово решење заправо решење ЛГС -а.

Покрените Гауссов алгоритам у даљим примерима да бисте га поновили. Нумеричке вредности можете сами одредити.