Z valcovitého kmeňa stromu ...
„Z valcovitého kmeňa stromu ...“ začína známy problém extrémnych hodnôt, ktorý by ste mali vyriešiť pomocou diferenciálneho počtu. Ako tu však môžete postupovať?
Čo sú extrémne problémy s hodnotou?
Bez ohľadu na to, či tento typ úlohy nazývate úlohami s extrémnou hodnotou, výpočtami maximálnej hodnoty alebo jednoducho s problémami optimalizácie, vždy by ste mali vzhľadom na to je veľkosť - či už plocha, objem alebo prietok alebo nosnosť - čo najväčšia, t. j. maximálna bude. Princíp postupu je vždy rovnaký:
- Vo väčšine prípadov by ste mali urobiť krátky náčrt úlohy, aby ste získali prehľad. Podľa situácie tam môžete zadať dĺžky alebo iné veľkosti.
- Teraz nastavte tzv. Objektívna funkcia zapnutá, to je veľkosť, ktorá by mala byť maximálna (alebo niekedy aj minimálna) v úlohe. Môže to byť napríklad oblasť, objem alebo uhol byť. Pozorne si prečítajte text.
- Táto objektívna funkcia zvyčajne obsahuje viac ako jednu neznámu, vo všeobecnosti existujú dve hodnoty, od ktorých závisí, napríklad šírka a dĺžka povrchu.
- Aby ste mohli nahradiť jednu z týchto dvoch neznámych, musíte vyťažiť tzv Formulovať sekundárne podmienky. Tu, takpovediac, príde na rad dané. Môže to byť polomer, výška alebo dokonca daná oblasť. Aj tu sa musíte na úlohu pozorne pozrieť, pretože sekundárna podmienka často vyplýva z veľkostí na výkrese, ako v nasledujúcom príklade.
- Teraz vyriešte obmedzenie jednej z dvoch neznámych. Vyberte veľkosť, ktorú je jednoduchšie vypočítať.
- Túto premennú teraz vložíte do objektívnej funkcie, ktorá potom závisí iba od jednej neznámej (toto môžete sebavedomo nazvať „x“).
- Pre túto objektívnu funkciu hľadáte maximálnu hodnotu alebo vo všeobecnosti extrémne hodnoty - deriváciu preto musíte vytvoriť.
- Odvoďte objektívnu funkciu podľa neznámeho a nastavte deriváciu = 0, podmienku extrémnej hodnoty.
- Vypočítajte neznáme z tejto rovnice. Ak máte niekoľko riešení, stále musíte skontrolovať, či skutočne existuje maximum (alebo minimum) je (2. Derivát).
- Pri mnohých úlohách treba určiť aj druhú neznámu. Rovnicu pre to poznáte zo sekundárnej podmienky.
Racionálne funkcie sú predmetom školskej matematiky, väčšinou v 11. ročníku. Školský rok. …
„Z valcového guľatiny“ - príklad
Z valcovitého kmeňa stromu (ktorý má kruhový prierez) s priemerom d = 30 cm lúč s obdĺžnikovým prierezom by mal byť rezaný tak, aby mal čo najvyššiu nosnosť Má.
- Najprv urobte kresbu, v ktorej nakreslite aj priemer tyče a obdĺžnika. Mimochodom, tu nepotrebujete trojrozmerné zobrazenie; stačí prerezať lúč.
- Teraz označte napríklad šírku prierezu x a výšku nakresleného obdĺžnika y. Vidíte, že priemer d musí byť v tomto obdĺžniku uhlopriečka (dobre si to zapamätajte!).
- Pre nosnosť platí: je úmerná šírke (x) a štvorcu výšky (y²). Túto skutočnosť si môžete vyhľadať na internete alebo v technickej knihe (bohužiaľ, „útes“ v tejto úlohe!).
- Táto nosnosť by mala byť maximálna, je to teda vaša cieľová funkcia a môže byť s T (x, y) = x * y² (potrebný faktor proporcionality môžete pokojne vynechať).
- Teraz potrebujete sekundárnu podmienku, ktorá zahŕňa zadanú veľkosť (tu „d“). Pohľad na váš výkres ukazuje x² + y² = d² (Pythagoras). A dostanete y² = d² - x². Teraz vložte tento vzťah do objektívnej funkcie.
- Dostanete: T (x) = x * (d²-x²) = d²x-x³; objektívna funkcia závisí iba od neznámeho „x“ a je možné ju rozlíšiť: T '(x) = d² - 3x².
- Hľadáte extrémnu hodnotu, tj d² - 3x² = 0 a x = d / √3 = 30 cm / √3 ≈ 17,32 cm (tu stačia 2 číslice za desatinnou čiarkou), šírku prierezu. Tu nemusíte venovať pozornosť negatívnemu koreňu.
- Dostanete výšku y od y² = d² - x² do y = 24,5 cm. Úloha vyriešená!
Z valcovitého kmeňa stromu musíte vypíliť obdĺžnik 17,32 cm široký a 24,5 cm vysoký.
