VÍDEO: O ideal pode
A lata ideal - um problema de valor extremo
Os fabricantes querem usar o mínimo de material possível para latas e latas de cerveja devem ser úteis. Então, como eles têm que Dimensões uma lata cilíndrica com capacidade de 0,5 l deve ser selecionada de modo que seja necessário o mínimo de material possível? E os fabricantes aderem a essas dimensões ideais? Esta tarefa parece absurda à primeira vista, porque uma olhada na prateleira de latas mostra que os fabricantes No geral, torne as latas uniformes, ou seja, com a mesma altura e diâmetro Selecione. Mas talvez isso se deva apenas às máquinas de enchimento padrão? Ou porque as latas são fáceis de manusear no formato escolhido?
- Essas questões podem ser verificadas em matemática. Resumindo, a tarefa é: qual diâmetro (ou raio) e qual altura você precisa para o cilindro de lata escolha de forma que a lata tenha um volume de 0,5 le a superfície (que é o consumo de material) o menor possível vai.
- Este é um problema de valor extremo com uma condição principal (a superfície deve ser mínima) com uma condição secundária (o volume é 0,5 = 500 cm³).
- Com problemas como esse, você deve primeiro configurar as condições principais e secundárias como equações. Neste caso, o raio r do círculo do cilindro e a altura h do cilindro são as duas incógnitas (que você deseja calcular).
- Você pode consultar as fórmulas para o volume V e a superfície F de um cilindro no formulário. Observe que a superfície de um cilindro consiste em dois círculos e um retângulo (a capa do cilindro).
- O seguinte se aplica: V = ¶ r² * h = 500 cm³ como condição secundária e F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h como a condição principal que deve ser mínima.
- A condição principal contém inicialmente as duas incógnitas r e h. A partir da condição secundária, agora você pode separar uma das duas incógnitas (h é útil porque é mais fácil de calcular) e inseri-la na condição principal. O procedimento é semelhante a substituir duas equações por duas incógnitas. Só aqui você tem Funções pendência.
- Você obtém h = 500 / ¶ r² (os cm³ são deixados de fora para cálculos posteriores; o resultado é então calculado na unidade "cm") e colocado na superfície F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, ou seja, a superfície da sua lata agora depende apenas do raio.
- De acordo com a tarefa, a superfície deve ser mínima, então você está procurando um valor extremo desta função.
- Para fazer isso, deduza F (r) de acordo com a variável r e defina a derivada como zero.
- Você calcula F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (você pode procurar a derivada de 1 / r no formulário se não souber).
- O seguinte se aplica a um extremo: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- A partir disso, você calcula r³ = 250 / ¶ er = 4,3 cm (terceira raiz em TR). Sua caixa mínima tem um diâmetro de quase 9 cm.
- Agora você pode calcular a altura h da lata a partir da condição secundária (cf. Ponto 8.) a h = 8,6 cm. O diâmetro e a altura correspondem, portanto.
Você conhece alguns tamanhos de um cilindro, como diâmetro ou ...
Matemática e realidade - questione criticamente o resultado
Mas será que uma cerveja pode realmente ser assim, tão alta quanto larga? A vida cotidiana contradiz o resultado do matemática Claramente, as latas são relativamente mais altas, portanto mais estreitas e, claro, mais manejáveis. Permanece incerto se os desejos do cliente estão em primeiro plano aqui. E algo mais deve ser levado em consideração: as latas de cerveja não são enchidas até o topo, ou seja, maiores que 500 ml. Além disso, a forma ideal do cilindro é fornecida.
- Porém, algo não foi levado em consideração no que se refere ao consumo de materiais: há desperdício! Ele é criado quando os círculos são cortados. Não se sabe se será derretido novamente ou eliminado. Em qualquer caso, é um prejuízo para a empresa. Talvez você recalcule a tarefa de valor extremo da lata ótima levando esse desperdício em consideração.
- Então você não precisa de dois círculos para a superfície, mas de dois quadrados além da superfície retangular do cilindro. O resultado para este caso é r = 4 cm eh = 10 cm, então a lata se torna mais estreita e mais alta. Isso é surpreendente!
