O método simplex de otimização linear simplesmente explicado

Modelagem de programas lineares

Ao modelar programas lineares, vários parâmetros, como B. Os tempos de processamento das peças de trabalho ou as capacidades da máquina podem ser determinados. Em seguida, uma função objetivo é definida, que deve ser maximizada sob certas restrições. A função objetivo é frequentemente a função lucro, visto que maximizar o lucro líquido é um objetivo fundamental para as empresas. As restrições são descritas pela escassez de recursos (por exemplo B. Capacidade, tempo, espaço). Você pode então resolver o problema usando o método simplex.

• Você pode aprender o procedimento para criar modelos lineares com particular facilidade se fizer um exemplo simples: Suponha que você tenha três máquinas M
  instagram viewer
  ₁, M₂ e M₃ em que os dois produtos P₁ e P₂ deve ser produzido. As máquinas têm capacidades diferentes, e leva tempo para processar um determinado produto nas máquinas por períodos de tempo diferentes e os produtos finais acabados geram lucros diferentes longe.
• Estamos agora procurando o programa de produção com o lucro máximo, ou seja, o programa de produção em que o maior lucro é alcançado.

Exemplo com valores numéricos e introdução ao método simplex

Na próxima etapa, você precisa de valores numéricos concretos para modelar seu problema. Suponha que para editar P₁ em M₁ 2 horas se acumulam em M₂ 3 horas e em M₃ 4 horas. Para p₂ cair em M₁ 4 horas em, em M₂ 5 horas e em M₃ 3 horas. As capacidades da máquina para M₁ 500 horas, para M₂ 300 horas e para M3 600 horas. Os lucros para os produtos finais acabados P₁ são 3 euros / peça, para os produtos finais acabados P₂ 4 euros / peça.

1. É melhor criar uma tabela com três linhas e três colunas, com espaço adicional para os títulos das linhas e colunas. Deve deixar colunas. Por exemplo, o tempo de processamento de P está no campo "Coluna 1 e Linha 1"₁ em M₁, no campo "Coluna 2 e Linha 3" o tempo de processamento de P₂ em M₃. A coluna 3 mostra as capacidades das três máquinas.


O algoritmo gaussiano de sistemas lineares de equações explicado em poucas palavras

Você encontrará sistemas lineares de equações pela primeira vez no ensino médio em ...

2. Agora você precisa de duas variáveis ​​x₁, x₂ definir as quantidades de produção de P₁ e P₂ corresponder.
3. Então você obtém as restrições 2x₁+ 4x₂ ≤ 500 (máquina 1), 3x₁+ 5x₂ ≤ 300 (máquina 2) e 4x₁+ 3x₂ ≤ 600 (máquina 3). Em cada caso, existem desigualdades, uma vez que as capacidades não precisam ser totalmente esgotadas.
4. A função objetivo (lucro) a ser maximizada é G (x₁, x₂) = 3x₁+ 4x₂ -> máx.
5. Além disso, as condições de não negatividade de x aplicam-se à quantidade de produção₁, x₂ ≥ 0. Você vê, todas as equações são equações lineares. Se você olhar para eles juntos, terá um problema de otimização linear.

Otimização linear e aplicação do método simplex

A ideia para resolver um programa linear é que as desigualdades introduzindo "variáveis ​​de folga" em Equações e o problema de otimização modificado é resolvido como LGS. O método simplex é, portanto, muito semelhante ao algoritmo Gaussiano para resolver LGS.

1. Exemplo: um avião é dividido por três bens G₁, G₂, G₃ para ser carregado com o valor total de frete mais alto possível. Estes têm um requisito de espaço de 1, 0,2 ou 6 dm³, têm um peso de 1, 0, 4 e 8 kg e um valor de 10, 3 ou 50 euros. Como a aeronave é carregada idealmente quando o espaço de carga é de 2.000dm³ e pode transportar no máximo 3000 kg de carga?
2. Você define x₁, x₂, x₃ como quantidades de bens G₁, G₂, G₃.
3. Agora você pode configurar as restrições com variáveis ​​de folga da seguinte maneira: x₁+ 0,4x₂+ 8x₃+ x₄ = 3000 e x₁+ 0,2x₂+ 6x₃+ x₅ = 2000. A função objetivo (valor total do frete) é G (x₁, x₂, x₃) = 10x₁+ 3x₂+ 50x₃ -> máx. Você pode mudar isso trazendo todas as variáveis ​​para uma página (G-10x₁-3x₂-50x₃ = 0).
4. Em seguida, configure o painel Simplex. Possui 3 linhas e 7 colunas. No lado esquerdo você insere x nas colunas₁, x₂, x₃, x₄, x₅ e G como cabeçalhos. À direita, b é a única coluna. É aqui que as quantidades ideais de mercadorias e o valor total de frete mais alto possível são listados. A terceira linha é a linha de destino. (Verifique: nas três linhas com os cabeçalhos acima mencionados estão os números: Linha 1: 1, 0,4, 8, 1, 0, 0, 3000, Linha 2: 1, 0,2 6, 0, 1, 0, 2000 e Linha 3: -10, -3, -50, 0, 0, 1, 0).
5. Agora proceda como ao usar o método gaussiano para resolver um LGS. Na primeira etapa, você altera a linha 1 resp. A linha 2 é enviada e adicionada à outra linha de forma que apenas 1 apareça na "Linha 1 + Coluna 1" e um 0 na "Linha 2 + Coluna 1". Isso também altera os valores na linha de destino automaticamente.
6. Neste caso, por exemplo, você pode multiplicar a linha 2 por -1 e adicioná-lo à linha 1 e multiplicar a linha 2 por 10 e adicionar à linha 3 (controle: linha 1: 0, 0,2, 2, 1, -1, 0, 1000, linha 2: permanece a mesma, linha 3: 0, -1, 10, 0, 10, 1, 20.000).
7. Na segunda etapa, pegue a coluna 2 e crie um 0 transformando "Linha 2 + Coluna 2" e 1 em "Linha 1 e Coluna 2". Novamente, deve-se observar como a linha de destino muda.
8. As etapas de transformação seriam, por exemplo, multiplicar a linha 1 por -1 e adicionar à linha 2 e da linha 1 a 5 e adicionar à linha 3 (Verifique: após realizar ambas as etapas, o resultado é: linha 1: 0, 1, 10, 5, -5, 0, 5000, linha 2: 1, 0, 4, -1, 2, 0, 1000 e linha 3: 0, 0, 20, 5, 5, 1, 25.000).
9. Agora você pode ler as soluções no lado direito do painel. Isso resulta em um valor total de frete de 25.000 euros, 5.000 unidades da mercadoria 1, 1000 unidades da mercadoria 2 e nenhuma unidade da mercadoria 3 são transportadas.

Observe que a solução do quadro simplex só resulta em uma solução ótima se apenas os resultados positivos forem mostrados na linha de destino à esquerda após a última etapa de remodelagem Contando ficar de pé. Você internalizou o sistema após 2-3 outros exemplos e será capaz de resolver tais tarefas no futuro de uma forma lúdica.