VIDEO: Løse enkle problemer med ekstrem verdi

Modellere ekstreme verdiproblemer

• Først må du sette opp en funksjonell ligning f, som er avhengig av en parameter, vanligvis brukes x. x angir variabelen og ukjent mengde som må velges slik at et maksimum eller minimum resultat for problemet med ekstreme verdier oppnås til slutt.
• x kan være B. stå for lengden på et bord eller vekten av en murstein.
• Du har da z. B. en funksjon av formen f (x) = 2x³-4x + 3 funnet.
• Men det kan også være at funksjonen er avhengig av to eller flere variabler i det første trinnet, f.eks. B. f (x, y) = 5x²-2xy + 3y-6.
• Nå må du finne en begrensning som spesifiserer en variabel som en funksjon av den andre variabelen. Gjelder f.eks. B. y = 2x + 2, så kan du sette inn denne yen i funksjonsligningen, og du får nå en enkel funksjonell ligning som bare er avhengig av x. I dette eksemplet, etter å ha multiplisert og kombinert, vil dette være: f (x) = 5x²-2x (2x + 2) +3 (2x + 2) -6 = x²+ 2x + 6.


Hva er arctan

Arctan er tangens inverse funksjon i intervallet] -pi / 2, pi / 2 [. Det er …

• Dette eksemplet blir undersøkt nærmere nedenfor.

Enkel differensiering - slik fungerer det

• Når du har funnet funksjonsligningen som modellerer ditt ekstreme verdiproblem, er alt du trenger å gjøre å finne den spesielle verdien for x som minimerer eller maksimerer funksjonen din.
• For å gjøre dette må du ta det første derivatet av funksjonen med hensyn til x. For dette trenger du kanskje produktet, kvoten eller kjederegelen, avhengig av vanskeligheten med funksjonsligningen. Hvis du ikke lenger er kjent med disse fra skolen, kan du finne dem i enkle avledningsregler i populære formler eller bøker.
• I vårt eksempel får vi nå den avledede funksjonen f '(x) = 2x + 2.
• Du må vite at det bare kan være et ekstremt punkt der betingelsen f '(x) = 0 er oppfylt.
• Så i neste trinn må du sette derivatet lik 0. I dette eksemplet vil dette være 0 = f '(x) = 2x + 2 <=> 2x = -2 <=> x = -1.
• På punktet x = -1 er det derfor en kandidat for et ekstremt punkt.
• Selvfølgelig kan det være flere kandidater for dine ekstreme verdiproblemer. Disse må også sjekkes individuelt i neste trinn. I dette enkle eksemplet er det bare en kandidat.

Enkel differensiering vellykket - hva nå?

• For å finne ut om det er enkle ekstreme punkter på de bestemte punktene, må det andre derivatet dannes.
• Det er tre muligheter: f '' (x) <0 gjelder, her er det et lokalt maksimum. Eller: f '' (x)> 0 gjelder, her er det et lokalt minimum. Eller: f '' (x) = 0, det er ikke noe ekstrempunkt her (det er et såkalt sadelpunkt).
• I det enkle eksemplet som er diskutert her, må det andre derivatet undersøkes ved punktet x = -1. Først av alt, f '' (x) = 2. Så også f '' (- 1) = 2.
• På grunn av f '' ( - 1)> 0 er det et lokalt minimum på punktet x = -1.
• Hvis du har funnet andre kandidater for dine ekstreme verdiproblemer, bør du nå også kontrollere for hver kandidat om det er et ekstrempunkt og hvilken type det er.

Som du kan se, er det veldig enkelt å finne en løsning på de fleste ekstreme verdiproblemer. Den største vanskeligheten ligger bare i å sette opp riktig funksjonsligning for det respektive ekstreme verdiproblemet.