VIDEO: Den optimale boksen
Den optimale boksen - et ekstremt verdiproblem
Produsenter ønsker å bruke så lite materiale som mulig til bokser, og ølbokser bør være nyttige. Så hvordan må de det Dimensjoner bør en sylindrisk boks med en kapasitet på 0,5 l velges slik at så lite materiale som mulig er nødvendig? Og følger produsentene i det hele tatt disse optimale dimensjonene? Denne oppgaven høres først meningsløs ut, for et blikk på bokshyllen viser at produsentene I det hele tatt gjør boksene ensartede, det vil si samme høyde og diameter Plukke ut. Men skyldes dette kanskje bare standard fyllmaskiner? Eller fordi boksene er enkle å håndtere i valgt form?
- Disse spørsmålene kan sjekkes i matematikk. Oppgaven er kort sagt: hvilken diameter (eller radius) og hvilken høyde trenger du for sylinderen velg slik at boksen holder et volum på 0,5 l og overflaten (det er materialforbruket) så liten som mulig vil.
- Dette er et ekstremt verdiproblem med en hovedtilstand (overflaten skal være minimal) med en sekundær tilstand (volumet er 0,5 = 500 cm³).
- Med problemer som dette må du først sette opp både hoved- og sekundærbetingelsene som ligninger. I dette tilfellet er radius r for sylindercirkelen og høyden h på sylinderen de to ukjente (som du vil beregne).
- Du kan slå opp formlene for volumet V og overflaten F til en sylinder i formularen. Legg merke til at overflaten på en sylinder består av de to sirklene og et rektangel (sylinderkappen).
- Følgende gjelder: V = ¶ r² * h = 500 cm³ som en sekundær tilstand og F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h som hovedbetingelse som skal være minimal.
- Hovedbetingelsen inneholder i utgangspunktet de to ukjente r og h. Fra den sekundære tilstanden kan du nå skille en av de to ukjente (h er nyttig fordi det er lettere å beregne) og sette den inn i hovedbetingelsen. Fremgangsmåten ligner på å erstatte to ligninger med to ukjente. Bare her har du det Funksjoner å gjøre.
- Du får h = 500 / ¶ r² (cm³ er utelatt for videre beregning; resultatet blir deretter beregnet i enheten "cm") og sett dette i overflaten F.
- F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, det vil si at overflaten på boksen din nå bare avhenger av radius.
- I henhold til oppgaven skal overflaten være minimal, så du leter etter en ekstrem verdi av denne funksjonen.
- For å gjøre dette, avled F (r) i henhold til variabelen r og sett derivatet til null.
- Du beregner F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (du kan slå opp derivatet av 1 / r i formelen hvis du ikke vet).
- Følgende gjelder for et ekstremum: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- Fra dette beregner du r³ = 250 / ¶ og r = 4,3 cm (tredje rot på TR). Din minimale eske har en diameter på nesten 9 cm.
- Du kan nå beregne høyden h på boksen fra den sekundære tilstanden (jfr. Punkt 8.) til h = 8,6 cm. Diameter og høyde stemmer derfor overens.
Du kjenner noen størrelser på en sylinder som diameter eller ...
Matematikk og virkelighet - stiller spørsmål ved resultatet
Men kan et øl virkelig se slik ut, omtrent like høyt som det er bredt? Hverdagen motsier resultatet av matematikk Det er klart at boksene er relativt høyere, så smalere og selvfølgelig mer håndterbare. Det er fortsatt usikkert om kundens ønsker er i forgrunnen her. Og noe annet bør tas i betraktning: Ølbokser fylles ikke til toppen, dvs. større enn 500 ml. I tillegg er selvfølgelig den ideelle sylinderformen gitt.
- Noe ble imidlertid ikke tatt i betraktning når det gjaldt materialforbruk: det er avfall! Den opprettes når sirklene kuttes. Det er ikke kjent om det vil bli smeltet ned igjen eller kastet. Uansett er det et tap for selskapet. Kanskje du vil beregne den ekstreme verdioppgaven til den optimale boksen med tanke på dette avfallet.
- Da trenger du ikke to sirkler til overflaten, men to firkanter i tillegg til den rektangulære sylinderoverflaten. Resultatet for denne saken er r = 4 cm og h = 10 cm, så boksen blir smalere og høyere. Det er overraskende!
