Den gaussiske algoritmen til lineære ligningssystemer forklart i et nøtteskall

instagram viewer

Du møter lineære ligningssystemer for første gang på ungdomsskolen på videregående skole. Fra da av vil du komme over systemer med lineære ligninger igjen og igjen, forutsatt at du bestemmer deg for et teknisk yrke eller ofte blir konfrontert med matematiske problemer. Den gaussiske algoritmen brukes til den enkle og entydige løsningen av ligningssystemer.

Med lineære ligningssystemer er det lett å miste oversikten!
Med lineære ligningssystemer er det lett å miste oversikten!

Hva trenger du:

  • Løsningsopplegg
  • grunnleggende matematisk kunnskap
  • Penn
  • papir

Interessante fakta om systemer med lineære ligninger

Hvis du bryter begrepet "system av lineære ligninger" fra hverandre i de enkelte ordkomponentene, får du en enkel idé om hva en LGS er.

  • En LGS består av flere lineære Likninger, der forskjellige opprinnelig ukjente parametere forekommer. Lineær betyr at parametrene ikke er i noen Potenser henholdsvis rot hendelse. For eksempel er ligningen x1+ 2x22 = 3 kan ikke være en del av et lineært ligningssystem, siden parameteren x2 skjer i den andre kraften.
  • De forskjellige ligningene kan settes opp ved å modellere, eller de er ganske enkelt gitt i oppgaven. Et eksempel: I en lastebillevering, tre deler (x 1, x2, x3) levert, som prisene s1 = 1 euro, s2 = 2 euro og s3 = Ha 3 euro. Den totale verdien av leveransen er 1.000 euro. Denne informasjonen kan oppsummeres i en ligning 1x1+ 2x2+ 3x3 = 1000, hvor x1, x2 og x3 tilsvarer de opprinnelig ukjente mengdene av de tre delene.
  • På denne måten kan flere ligninger settes opp. I dette eksemplet er plassbehovet til delene og volumet på en lastebil tenkelig.
  • Etter at alle lineære ligninger er satt opp, kan LGS løses, dvs. bestemmelse av den ukjente parameteren x1, x2 og x3. Det er her den gaussiske algoritmen spiller inn, som du kan løse LGS trinn for trinn i henhold til et klart definert opplegg.
    • Simplex -metoden for lineær optimalisering er ganske enkelt forklart

    Lineær optimalisering handler om optimal tildeling av knappe ressurser til ...

  • Det er tre alternativer for å løse et system med lineære ligninger. Hvis du er litt mer erfaren, vil du allerede før løsningsprogrammet se om en LGS har en, ingen eller et uendelig antall løsninger.
  • LGS med de to ligningene x1+ x2 = 1 og x1+ 2x2 For eksempel har = 1 ingen løsning fordi begge ligningene ikke kan oppfylles samtidig. Det er nøyaktig en løsning hvis antall ukjente parametere er lik antall ligninger, det ikke er noen motsetning og alle ligninger (hver i par) er lineært uavhengige. Rangen til matrisen som tilhører LGS er da nøyaktig lik antallet ukjente. Hvis rangeringen er mindre, er det uendelig mange løsninger (se eksempel).

Eksempel på anvendelse av den gaussiske algoritmen

  1. Ved å modellere et problem har du de tre ligningene 2x1+ x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 og -4x1-2x2+ 6x3 = -12 satt opp.
  2. Skriv nå disse tre ligningene under hverandre. Når du bruker den gaussiske algoritmen, eliminerer du gradvis variablene. De vet at elementære linjetransformasjoner ikke endrer løsningsrommet.
  3. Skriv nå ned den første ligningen uendret. Multipliser den andre og tredje ligningen slik at når de legges til den første raden, har disse nye ligningene ikke et x1 inneholde mer. Så du ganger den andre ligningen med -2 ​​(på grunn av x1 i den andre ligningen og 2x1 i den første ligningen) og legg dem til den første linjen. På samme måte deler du den tredje ligningen med to og legger den til den første ligningen.
  4. I neste trinn har du to ligninger der bare parameterne x2 og x3 Popp opp. Skriv nå ned den andre ligningen og multipliser den tredje ligningen på en slik måte at når den legges til den andre ligningen, x2 er eliminert. Hvis du hadde andre ligninger, fortsett på samme måte.
  5. I den siste ligningen har du da kun variabelen x3 som du nå kan bestemme. Ved å koble resultatet til de to andre ligningene får du verdiene for x2 og x1.
  6. I dette eksemplet er det imidlertid et spesielt tilfelle. I trinn 3, hvis du deler den tredje ligningen med 2 og legger den til den første ligningen, får du bare 0x1+ 0x2+ 0x3 = 0. Årsaken til dette er enkel: Ligning 1 og ligning 3 er lineært avhengige, fordi den tredje ligningen oppnås ved å multiplisere den første ligningen med -2.
  7. Du kan krysse null -linjen og vite at rangen bare er 2 og LGS har et uendelig antall løsninger, forutsatt at det ikke er noen motsetning.
  8. Så etter trinn 3 og 6 har du de to ligningene 2x1+ x2-3x3 = 6 og 5x2-x3 = 2. Du har en grad av frihet. Så gi x1 og x2 avhengig av x3 og du er der.
  9. Den andre ligningen innebærer x2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Hvis du setter x2 inn i den første ligningen får vi: 2x1+ 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Oppløsning til x1 resulterer i: x1 = 14/5 + 7 / 5x3.
  11. Løsningsområdet slipper dermed gjennom L = {(14/5 + 7 / 5x3; 2/5 + 1 / 5x3; x3)} indikerer. Det finnes uendelig mange løsninger. For x3 = 1, for eksempel løsningen (21/5; 3/5; 1). Som en test kan du koble denne løsningen til de originale ligningene, og du vil finne at denne løsningen faktisk er en løsning av LGS.

Kjør den gaussiske algoritmen i ytterligere eksempler for å internalisere den. Du kan selv angi de numeriske verdiene.

Hvor nyttig finner du denne artikkelen?

click fraud protection