Systemer med lineære ligninger: flere løsninger

To ligninger og mange løsninger - ett problem

• Kanskje dette allerede har skjedd med deg: Du vil ha et lineært ligningssystem med bare 2 ligninger og to ukjente (vanligvis x og y), men noe "rart" skjer ved beregning, fordi de to ligningene er etter noen transformasjoner identisk.
• Denne saken forekommer for eksempel med systemet 2x - 3y = 8 og 6y = 4x - 16. Hvis du løser begge ligningene for x (eller y) for å løse dem ved hjelp av likningsmetoden, viser de seg å være identiske.
• I alle slike tilfeller er det faktisk flere, til og med uendelig mange, løsninger for det lineære ligningssystemet. I eksemplet kan du alle reelle for det ukjente x Teller og beregne y i henhold til en av de to ligningene. Så x = 1 og y = -2 ville være en løsning, men også x = 0 og y = -8/3. Avhengig av valget av x, kan du finne ytterligere løsninger tilsvarende.

Forresten, i stedet for flere løsninger, snakker man om at ligningssystemet ikke er unikt løsbart.

Lineære ligningssystemer med flere ukjente - en testmetode

• Hvis du har et lineært ligningssystem med n ligninger med n ukjente, vil du lære om muligheter i matematikk i videregående skole for å sjekke om det er flere løsninger.


Den gaussiske algoritmen til lineære ligningssystemer forklart i et nøtteskall

Du vil møte lineære ligningssystemer for første gang på ungdomsskolen på ...

• Dette er begrepet lineær avhengighet. I eksemplet diskutert ovenfor var de to ligningene lineært avhengige, fordi den andre ligningen kunne genereres fra den første ved å multiplisere med et tall.
• Selv i et system med lineære ligninger som er mer komplisert enn det som er oppført ovenfor, trenger du ikke gjøre så mye mer enn å sjekke om de enkelte ligningene er lineært avhengige.
• Det er flere alternativer for denne prosedyren. For eksempel kan du løse systemet i henhold til den gaussiske algoritmen. I det avhengige tilfellet vil du bare motta nuller i en av linjene - en form for eksamen som er spesielt vanlig i skoletimene.
• En slik nulllinje kan løses for en hvilken som helst kombinasjon av variabler og representerer derfor ikke en begrensning (den kan også utelates).
• Det gjenstår n-1 ligninger, men fortsatt n ukjente. Også her kan en ukjent eller variabel velges fritt, de andre skyldes de resterende ligningene. Systemet med ligninger har følgelig et one-parameter uendelig løsningssett. Hvis du har mer enn en nulllinje, kan flere ukjente velges fritt.

Forresten: det lineære ligningssystemet inneholder mindre Likninger som variabel er heller ikke informasjonen tilstrekkelig for en entydig løsning. Dette kalles underbestemt. Overstyrte systemer som inneholder flere ligninger enn ukjente, er enten uløselige fordi de er basert på en motsetning (f.eks. B. 0 = -1!), Eller kan løses hvis det er null linjer.