Forklarende kraftserieutvidelse av en funksjon

instagram viewer

Mange funksjoner kan konverteres til en kraftserie gjennom en passende transformasjon. Men hvordan fungerer dette nøyaktig og hva bør vurderes? Du vil se at utvidelsen av kraftserien ikke er så vanskelig hvis du fortsetter i henhold til et bestemt opplegg og har utledet det selv.

Utvikling av en funksjon i en Mac Laurin -serie

Selvfølgelig kan ikke alle vilkårlige funksjoner utvikles til en kraftserie. Snarere må en funksjon oppfylle visse kriterier slik at denne prosessen i det hele tatt kan brukes. Like bra som alle enkle Funksjonersom du møter i hverdagen oppfyller disse kriteriene, er dette trinnet bare utelatt her. Imidlertid vil du umiddelbart se at den aktuelle funksjonen uansett må være differensierbar så ofte som nødvendig (nødvendig betingelse).

  1. Anta at enhver funksjon f kan utvides unikt til en bestemt kraftserie. Da kan denne funksjonen representeres som en effektfunksjon. Følgende gjelder: f (x) = a0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+...
  2. Først utviklingspunktet x0 = 0 vurdert. I miljøet rundt dette utviklingspunktet må funksjonen være differensierbar så ofte som nødvendig.
  3. Nå kan du Derivater av funksjonen. f '(x) = a1+ 2a2x1+ 3a3x2+ 4a4x3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3x1+ 12a4x2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. På utviklingspunktet x0 = 0 da: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Beregn ekstrema - slik gjøres det med polynom

    Beregn ekstremen til polynomet og gi det relative maksimum og minimum ...

  5. Hvis du ser nøye på koeffisientene, vil du legge merke til at de oppfører seg som fabrikken (vi har (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... og i tillegg (0!) = 1).
  6. Husk dette når du utvikler funksjonen, du får f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Hvis du nå bytter om etter koeffisientene, får du en0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Du kan se koeffisientene an følge opplæringsloven an = f(n)(0) / n!
  9. Du kan nå overføre de nye funnene til utdatafunksjonen f, så f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X gjelder1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn. Denne uendelige serien kalles Mac Laurin -serien.
  10. Hva gir denne informasjonen deg nå? For enhver funksjon som kan utvikles til en effektfunksjon, er alt du trenger å gjøre å bestemme derivatene, og du kan representere denne funksjonen som en uendelig serie.

Eksempel: kraftserieutvidelse av f (x) = sin (x)

Den beste måten å forstå ovennevnte ordning er å bruke den med en gang til et enkelt eksempel. For å gjøre dette, vurder funksjonen f (x) = sin (x). Som du vet, kan denne funksjonen differensieres et hvilket som helst antall ganger.

  1. Bestem først de fire første leadsene. Følgende gjelder: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Herfra gjentas alt i en syklus på fire.
  2. Vurder nå utviklingspunktet x0 = 0, deretter f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Sett nå inn derivatene i Mac Laurin -serien. f (x) = Σn = 0 [f(n)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5 !+...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. Så du får en vekslende serie, for eksempel konvergensen du kan bevise med Leibniz -kriteriet. Hvert annet medlem i serien utelates fordi sin (0) = 0. Du kan bestemme cosinus kraftserie helt analogt (løsning: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

Eksempel: Utvidelse av f (x) = ex inn i en kraftserie

  1. Utviklingen av ex i en power -serie er spesielt lett. Vi har f (x) = f(n)(x) = ex ∀ n∈N.
  2. Hvis du fortsetter i henhold til den samme ordningen, vil du motta på grunn av f(n)(0) = e0 = 1 påfølgende rad: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

Fra Mac Laurin -serien til Taylor -serien

Med Mac Laurin -serien har du bare det spesielle utviklingspunktet x0 = 0 vurdert. I neste trinn bør denne begrensningen oppheves, og ethvert utviklingspunkt x = x * bør vurderes.

  • I prinsippet gjør du de samme hensynene som når du stammer fra Mac Laurin -serien.
  • Du får effektserien f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f '' (x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [f(n)(x *) / n!] (x-x *)n med x * som utviklingspunkt.

For x * = 0 endres Taylor -serien til Mac Laurin -serien. Mac Laurin -serien er et spesielt tilfelle av Taylor -serien. I praksis er Taylor -serien mye mer utbredt enn Mac Laurin -serien fordi ethvert utviklingssenter er mulig. For en bedre forståelse og for avledningen er det imidlertid fornuftig å først se på den enklere varianten av serien.

click fraud protection