VIDEO: Eenvoudige problemen met extreme waarden oplossen

Modellering van de extreme waardeproblemen

• Eerst moet je een functionele vergelijking f opstellen, die afhankelijk is van een parameter, meestal wordt x gebruikt. x geeft de variabele en onbekende grootheid aan die gekozen moet worden om uiteindelijk een maximum of minimum resultaat voor het extreme waarde probleem te bereiken.
• x kan zijn B. staan ​​voor de lengte van een tafel of het gewicht van een steen.
• Je hebt dan z. B. een functie van de vorm f (x) = 2x³-4x + 3 gevonden.
• Maar het kan ook zijn dat de functie in de eerste stap afhankelijk is van twee of meer variabelen, b.v. B. f (x, y) = 5x²-2xy + 3y-6.
• Nu moet je een beperking vinden die de ene variabele specificeert als een functie van de andere variabele. Geldt b.v. B. y = 2x + 2, dan kun je deze y in de functievergelijking invoegen en je krijgt nu een eenvoudige functievergelijking die alleen van x afhangt. In dit voorbeeld zou dit na vermenigvuldigen en combineren zijn: f (x) = 5x²-2x (2x + 2) +3 (2x + 2) -6 = x²+ 2x + 6.


Wat is arctan

De arctan is de inverse functie van de raaklijn in het interval] -pi / 2, pi / 2 [. Dat is …

instagram viewer
• Dit voorbeeld wordt hieronder verder onderzocht.

Eenvoudige differentiatie - zo werkt het

• Als je eenmaal de functievergelijking hebt gevonden die je probleem met extreme waarden modelleert, hoef je alleen nog maar de speciale waarde voor x te vinden die je functie minimaliseert of maximaliseert.
• Om dit te doen, moet je de eerste afgeleide van de functie nemen met betrekking tot x. Hiervoor heb je misschien het product, quotiënt of kettingregel nodig, afhankelijk van de moeilijkheidsgraad van de functievergelijking. Als je deze niet meer van school kent, vind je ze in eenvoudige afleidingsregels in populaire formules of boeken.
• In ons voorbeeld krijgen we nu de afgeleide functie f '(x) = 2x + 2.
• Je moet weten dat er alleen een extreem punt kan zijn waar aan de voorwaarde f '(x) = 0 is voldaan.
• Dus in de volgende stap moet je de afgeleide gelijk stellen aan 0. In dit voorbeeld zou dit 0 = f '(x) = 2x + 2 <=> 2x = -2 <=> x = -1 zijn.
• Op het punt x = -1 is er dus een kandidaat voor een extreem punt.
• Natuurlijk kunnen er meerdere kandidaten zijn voor uw extreme waardeproblemen. Deze moeten in de volgende stap ook afzonderlijk worden gecontroleerd. In dit eenvoudige voorbeeld is er maar één kandidaat.

Eenvoudige differentiatie succesvol - wat nu?

• Om erachter te komen of er eenvoudige extreme punten zijn op de bepaalde punten, moet de tweede afgeleide worden gevormd.
• Er zijn drie mogelijkheden: f '' (x) <0 is van toepassing, hier geldt een lokaal maximum. Of: f '' (x)> 0 is van toepassing, hier geldt een lokaal minimum. Of: f '' (x) = 0, hier is geen extreem punt (het is een zogenaamd zadelpunt).
• In het hier besproken eenvoudige voorbeeld moet de tweede afgeleide worden onderzocht op het punt x = -1. Allereerst f '' (x) = 2. Dus ook f '' (- 1) = 2.
• Vanwege f '' (- 1)> 0 is er een lokaal minimum op het punt x = -1.
• Als je andere kandidaten hebt gevonden voor je extreme waardeproblemen, moet je nu ook per kandidaat controleren of er een extreem punt is en welk type het is.

Zoals u kunt zien, is het heel eenvoudig om een ​​oplossing te vinden voor de meeste extreme waardeproblemen. De grootste moeilijkheid ligt alleen in het opstellen van de juiste functionele vergelijking voor het betreffende extreme-waardeprobleem.