VIDEO: Het optimale blikje

Het optimale blik - een extreem waardeprobleem

Fabrikanten willen zo min mogelijk materiaal gebruiken voor blikjes en bierblikjes moeten handig zijn. Dus hoe moeten ze? Dimensies een cilindrische bus met een inhoud van 0,5 l moet worden gekozen zodat er zo min mogelijk materiaal nodig is? En houden de fabrikanten zich überhaupt aan deze optimale afmetingen? Deze taak klinkt in eerste instantie onzinnig, want een blik op het blikkenrek leert dat de fabrikanten Maak de blikken in het algemeen uniform, d.w.z. dezelfde hoogte en diameter Selecteer. Maar komt dit misschien alleen door de standaard vulmachines? Of omdat de blikken goed hanteerbaar zijn in de gekozen vorm?

1. Deze vragen kunnen worden gecontroleerd in de wiskunde. In het kort is de taak: welke diameter (of radius) en welke hoogte heb je nodig voor de blikcilinder kies zo dat het blik een inhoud van 0,5 l bevat en het oppervlak (dat is het materiaalverbruik) zo klein mogelijk zullen.
2. Dit is een extreem waardeprobleem met een hoofdconditie (het oppervlak moet minimaal zijn) met een secundaire conditie (het volume is 0,5 = 500 cm³).
   instagram viewer
3. Bij het omgaan met dergelijke problemen moet u eerst zowel de hoofd- als secundaire voorwaarden als vergelijkingen opstellen. In dit geval zijn de straal r van de cilindercirkel en de hoogte h van de cilinder de twee onbekenden (die je wilt berekenen).
4. De formules voor het volume V en het oppervlak F van een cilinder kun je opzoeken in het formularium. Merk op dat het oppervlak van een cilinder bestaat uit de twee cirkels en een rechthoek (de cilindermantel).


Bereken cilinderhoogte

Je kent enkele maten van een cilinder zoals diameter of ...

5. Hierbij geldt: V = ¶ r² _* h = 500 cm³ als secundaire voorwaarde en F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* h als de belangrijkste voorwaarde die minimaal moet zijn.
6. De hoofdvoorwaarde bevat aanvankelijk de twee onbekenden r en h. Van de secundaire voorwaarde kun je nu een van de twee onbekenden scheiden (h is handig omdat het gemakkelijker te berekenen is) en invoegen in de hoofdvoorwaarde. De procedure is vergelijkbaar met het vervangen van twee vergelijkingen door twee onbekenden. Alleen hier heb je het Functies Te doen.
7. Je krijgt h = 500 / ¶ r² (de cm³ worden weggelaten voor de verdere berekening; het resultaat wordt dan berekend in de eenheid "cm") en zet dit in het oppervlak F.
8. F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, dat betekent dat de oppervlakte van je blik nu alleen nog maar afhangt van de straal.
9. Afhankelijk van de taak moet het oppervlak minimaal zijn, dus je zoekt een extreme waarde van deze functie.
10. Leid hiervoor F (r) af volgens de variabele r en stel de afgeleide in op nul.
11. Je berekent F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (je kunt de afleiding van 1 / r opzoeken in het formularium als je het niet weet).
12. Voor een extremum geldt: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
13. Hieruit bereken je r³ = 250 / ¶ en r = 4,3 cm (derde wortel op TR). Je minimale doos heeft een diameter van bijna 9 cm.
14. De hoogte h van het blikje kun je nu uit de secundaire voorwaarde berekenen (vgl. Punt 8.) tot h = 8,6 cm. De diameter en hoogte komen dus overeen.

Wiskunde en realiteit - bevraag het resultaat kritisch

Maar kan een bier er echt zo uitzien, ongeveer even hoog als breed? Het dagelijks leven is in tegenspraak met het resultaat van de wiskunde Het is duidelijk dat de blikken relatief hoger zijn, dus smaller en natuurlijk beter hanteerbaar. Het blijft onzeker of de wensen van de klant hierbij op de voorgrond staan. En nog iets anders om rekening mee te houden: bierblikjes worden niet tot de rand gevuld, d.w.z. groter dan 500 ml. Daarnaast wordt natuurlijk de ideale cilindervorm gegeven.

• Bij het materiaalverbruik werd echter met iets niet rekening gehouden: er is afval! Het wordt gemaakt wanneer de cirkels worden gesneden. Het is niet bekend of het weer wordt omgesmolten of wordt afgevoerd. Het is in ieder geval een verlies voor het bedrijf. Misschien herberekent u de extreme waardetaak van het optimale blik rekening houdend met deze verspilling.
• Dan heb je niet twee cirkels nodig voor het oppervlak, maar twee vierkanten naast het rechthoekige cilinderoppervlak. Het resultaat voor dit geval is r = 4 cm en h = 10 cm, dus het blik wordt smaller en langer. Dat is verbazingwekkend!