Van een cilindrische boomstam ...

Wat zijn extreme waardeproblemen?

Of je dit soort taken nu extreme waardetaken noemt, maximale waardeberekeningen of gewoon een optimalisatieprobleem, je moet altijd gegeven feit een zo groot mogelijke afmeting - of het nu gaat om het oppervlak, het volume of de stroom of het laadvermogen - zullen. Het principe van de procedure is altijd hetzelfde:

1. In de meeste gevallen moet u een korte schets van de taak maken om een ​​overzicht te krijgen. Afhankelijk van de situatie kunt u daar lengtes of andere maten invoeren.
2. Stel nu de zogenaamde. Objectieve functie aan, dat is de grootte die maximaal (of soms ook minimaal) in de taak moet zijn. Dit kan bijvoorbeeld de oppervlakte, het volume of de hoek zijn. Lees de tekst aandachtig.
3. Deze doelfunctie bevat meestal meer dan één onbekende, over het algemeen zijn er twee waarden waarvan het afhankelijk is, bijvoorbeeld de breedte en de lengte van een oppervlak.
instagram viewer
4. Om een ​​van deze twee onbekenden te vervangen, moet je de zogenaamde Formuleer secundaire voorwaarden. Hier komt bij wijze van spreken het gegeven binnen. Dit kan een straal zijn, een hoogte of misschien zelfs een bepaald gebied. Ook hier moet je goed naar de opgave kijken, want de nevenvoorwaarde komt vaak voort uit de maten in de tekening, zoals in onderstaand voorbeeld.


Volledig rationele functies - hiermee moet rekening worden gehouden bij het berekenen

Rationele functies zijn het onderwerp van schoolwiskunde, meestal in de 11e klas. Schooljaar. De …

5. Los nu de beperking op voor een van de twee onbekenden. Kies de maat die gemakkelijker te berekenen is.
6. Je voegt deze variabele nu in de doelfunctie in, die dan slechts van één onbekende afhangt (je kunt dit gerust "x" noemen).
7. Voor deze doelfunctie zoek je een maximale waarde of, in het algemeen, de uiterste waarde(n) - de afleiding moet dus gevormd worden.
8. Leid de doelfunctie af volgens het onbekende en stel de afgeleide = 0, de voorwaarde voor een extreme waarde.
9. Bereken de onbekende uit deze vergelijking. Als je meerdere oplossingen hebt, moet je nog controleren of er daadwerkelijk een maximum (of minimaal) is (2. Derivaat).
10. Bij veel taken moet ook de andere onbekende worden bepaald. Je kent de vergelijking hiervoor uit de secundaire voorwaarde.

"Van een cilindrische stam" - een voorbeeld

Van een cilindrische boomstam (deze heeft een cirkelvormige doorsnede) met een diameter d = 30 cm een balk met een rechthoekige doorsnede moet zo worden gezaagd dat deze een zo groot mogelijk draagvermogen heeft Heeft.

1. Maak eerst een tekening waarin je ook de diameter van de staaf en de rechthoek tekent. Overigens heb je hier geen driedimensionale weergave nodig; een snede over de balk is voldoende.
2. Geef nu bijvoorbeeld de breedte van de doorsnede met x en de hoogte van de getekende rechthoek met y. Je kunt zien dat de diameter d de diagonaal moet zijn in deze rechthoek (onthoud het goed!).
3. Het draagvermogen is nu evenredig met de breedte (x) en het kwadraat van de hoogte (y²). U kunt hierover lezen op internet of in een technisch boek (helaas een "klip" in deze taak!).
4. Dit draagvermogen moet maximaal zijn, het is dus je doelfunctie en kan zijn met T (x, y) = x _* y² (u kunt gerust een noodzakelijke evenredigheidsfactor weglaten).
5. Nu hebt u de secundaire voorwaarde nodig, die de opgegeven grootte bevat (hier "d"). Een blik op je tekening toont x² + y² = d² (Pythagoras). En je krijgt y² = d² - x². Voeg nu deze relatie in de objectieve functie in.
6. Je krijgt: T (x) = x _* (d²-x²) = d²x-x³; de objectieve functie hangt alleen af ​​van de onbekende "x" en kan worden onderscheiden: T '(x) = d² - 3x².
7. U zoekt de uiterste waarde, d.w.z. d² - 3x² = 0 en x = d / √3 = 30 cm / √3 ≈ 17,32 cm (2 cijfers achter de komma zijn hier voldoende), de breedte van de doorsnede. U hoeft hier geen aandacht te besteden aan de negatieve wortel.
8. De hoogte y krijg je van y² = d² - x² tot y = 24,5 cm. Taak opgelost!

Uit de cilindrische boomstam moet je een rechthoek uitzagen van 17,32 cm breed en 24,5 cm hoog.