Sinuswet in niet-rechthoekige driehoek
Je kunt ook rekenen met de trigonometrische functies sin en cos in een driehoek die niet rechthoekig is: Een voorbeeld moet de betekenis van de sinusregel verduidelijken.
De wet van sinus - je hebt deze kennis nodig
- De eenvoudige trigonometrische functies sin, cos en tan zijn alleen geldig in een rechthoekige driehoek omdat ze verwijzen naar de schuine zijde en benen van deze driehoek.
- Toch ben je niet verloren bij het berekenen van zijden en hoeken in een niet-rechthoekige driehoek, omdat daar de wet van sinussen en (de wat moeilijker te begrijpen) cosinusregel.
- Met de wet van sinus, zijden en de sinus van de tegengestelde (!) hoek altijd in dezelfde verhouding.
- In formules is de zin a/sin α = b/sin β = c/sin γ. De hoek γ is hier willekeurig en niet 90°.
- Om zijden en/of hoeken te berekenen, worden twee overeenkomende delen van deze doorlopende verhoudingen geselecteerd. In dit geval "ontbindt" de wet van sinus in drie vergelijkingen.
Raak niet in paniek over wiskundige problemen! Met een goede schets en de juiste formules wordt de...
Overigens zijn andere formuleringen van de stelling a/b = sin α/sin β (en elk verwisseld met de verdere hoek en de derde zijde).
Voorbeeldberekening in de niet-rechthoekige driehoek
Als voorbeeld moet hier een algemene (d.w.z. niet-rechthoekige) driehoek worden gekozen, waarbij a = 3 cm, b = 5 cm en de hoek β = 50° wordt gegeven (deze constellatie komt overeen met de congruentiestelling sws). Je zoekt de derde zijde c en de twee hoeken α en γ.
- Je berekent eerst de hoek α, want die ligt tegenover de gegeven zijde a. Je stelt in: a/sin α = b/sin β, vul de gegeven grootheden in: 3/sin α = 5/sin 50°. Vermenigvuldig nu deze verhouding "kruiselings" en krijg: 3 * zonde 50° = 5 * sin α en dus sin α = 0,46 en met INV SIN (sin-1): α = 27,4°.
- De derde hoek γ kun je eenvoudig berekenen, want γ = 180° - 27,4° - 50° = 102,6° (som van hoeken in een driehoek) is van toepassing.
- Je kunt nu ook de derde ontbrekende zijde c berekenen met behulp van de sinusregel. Je kiest (bijvoorbeeld): b/sin β = c/sin γ en vult in: 5/sin 50° = c/sin 102,6° en krijgt hiervan c = 6,37 cm (de grootste hoek is ook hier de grootste zijde tegenover).
Overigens: opgaven waarbij een niet-rechthoekige driehoek drie zijden heeft (sss) of twee zijden en de ingesloten hoeken (sws) worden gegeven kunnen niet worden opgelost met de wet van sinussen (maar met de cosinusregel, zie link hierboven).
