Funkcijas jaudas sērijas paplašināšana

instagram viewer

Daudzas funkcijas var pārveidot par jaudas sēriju, izmantojot piemērotu transformāciju. Bet kā tas darbojas un kas jāņem vērā? Jūs redzēsit, ka jaudas sērijas paplašināšana nav tik grūta, ja rīkojaties saskaņā ar noteiktu shēmu un esat to atvasinājis pats.

Funkcijas izstrāde Mac Laurin sērijā

Protams, ne katru patvaļīgo funkciju var attīstīt jaudas sērijā. Funkcijai drīzāk jāatbilst noteiktiem kritērijiem, lai šo procesu vispār varētu izmantot. Tikpat labi kā visas vienkāršās Funkcijaskas ikdienā sastopas, atbilst šiem kritērijiem, šis solis šeit ir vienkārši izlaists. Tomēr jūs uzreiz redzēsit, ka apskatāmajai funkcijai jebkurā gadījumā jābūt diferencējamai tik bieži, cik nepieciešams (nepieciešamais nosacījums).

  1. Pieņemsim, ka jebkuru funkciju f var unikāli izvērst noteiktā jaudas virknē. Tad šo funkciju var attēlot kā jaudas funkciju. Piemēro: f (x) = a0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+...
  2. Vispirms attīstības punkts x0 = 0 ņemts vērā. Videi ap šo attīstības punktu funkcijai jābūt diferencētai tik bieži, cik nepieciešams.
  3. Tagad Tu vari Atvasinājumi no funkcijas. f '(x) = a1+ 2a2x1+ 3a3x2+ 4a4x3+..., f '' (x) = 2a2+ 6a3x1+ 12a4x2+..., f (x) = 6a3+ 24a4x +..., f (x) = 24a4+...
  4. Attīstības punktā x0 = 0 tad: f (0) = a0, f '(0) = a1, f '' (0) = 2a2, f (0) = 6a3, f (0) = 24a4...
    5. Aprēķiniet galējības - tas tiek darīts ar polinomiem

    Aprēķiniet polinoma galējības un norādiet relatīvo maksimumu un minimumu ...

  5. Ja uzmanīgi apskatīsit koeficientus, pamanīsit, ka tie uzvedas kā faktoriāli (mums ir (n!)n∈N = 1, 2, 6, 24, 120,... un papildus (0!) = 1).
  6. Paturiet to prātā, izstrādājot funkciju, jūs saņemat f (0) = (0!) A0, f '(0) = (1!) a1, f '' (0) = (2!) a2, f (0) = (3!) a3, f (0) = (4!) a4.
  7. Ja jūs tagad maināt atbilstoši koeficientiem, jūs saņemsiet a0 = f (0) / 0!, a1 = f '(0) / 1!, a2 = f '' (0) / 2!, a3 = f (0) / 3!, a4 = f (0) / 4!, ...
  8. Jūs varat redzēt koeficientus an ievērot Izglītības likumu an = fn)(0) / n!
  9. Tagad savus jaunos atklājumus varat pārsūtīt uz izvades funkciju f, tāpēc f (x) = f (0) / 0! + [F '(0) / 1!] * X ir spēkā1+ [f '' (0) / 2!] x2+ [f (0) / 3!] x3+ [f (0) / 4!] x4+... = Σn = 0 [fn)(0) / n!] Xn. Šo bezgalīgo sēriju sauc par Mac Laurin sēriju.
  10. Ko šī informācija jums sniedz tagad? Jebkurai funkcijai, ko var attīstīt par jaudas funkciju, viss, kas jums jādara, ir noteikt atvasinājumus, un jūs varat attēlot šo funkciju kā bezgalīgu sēriju.

Piemērs: jaudas sērijas paplašināšana f (x) = sin (x)

Labākais veids, kā izprast iepriekš minēto shēmu, ir to uzreiz piemērot vienkāršam piemēram. Lai to izdarītu, apsveriet funkciju f (x) = sin (x). Kā jūs zināt, šo funkciju var diferencēt vairākas reizes.

  1. Vispirms nosakiet pirmos četrus vadus. Piemēro: f '(x) = cos (x), f' '(x) = -sin (x), f (x) = -cos (x), f (x) = sin (x).. . Turpmāk viss tiek atkārtots četru ciklā.
  2. Tagad apsveriet attīstības punktu x0 = 0, tad f (0) = 0, f '(0) = 1, f' '(0) = 0, f (0) = -1, f (x) = 0 ...
  3. Tagad ievietojiet atvasinājumus Mac Laurin sērijā. f (x) = Σn = 0 [fn)(0) / n!] Xn = 0 + x1/1!+0-x3/3!+0+x5/5! +...= x1/1!-x3/3!+x5/5!+...= Σn = 0 (-1)nx2n + 1/(2n+1)!
  4. Tātad jūs iegūstat mainīgu sēriju, kuras konverģenci jūs varētu pierādīt, piemēram, ar Leibnica kritēriju. Katrs otrais sērijas dalībnieks tiek izlaists, jo sin (0) = 0. Kosinusa jaudas rindas var noteikt pilnīgi analoģiski (risinājums: Σn = 0 (-1)nx2n/(2n)! ).

Piemērs: f (x) = e izplešanāsx jaudas sērijā

  1. Attīstība ex jaudas sērijā ir īpaši viegli. Mums ir f (x) = fn)(x) = ex ∀ n∈N.
  2. Ja jūs rīkosities saskaņā ar to pašu shēmu, jūs saņemsiet f dēļn)(0) = e0 = 1 šāda rinda: f (x) = 1+ (1/1!) X1+ (1/2!) X2+ (1/3!) X3+...= Σn = 0 xn/n!

No Mac Laurin sērijas līdz Taylor sērijai

Izmantojot Mac Laurin sēriju, jums ir tikai īpašais attīstības punkts x0 = 0 ņemts vērā. Nākamajā solī šis ierobežojums ir jāatceļ un jāapsver jebkurš attīstības punkts x = x *.

  • Principā jūs veicat tādus pašus apsvērumus kā Mac Laurin sērijas iegūšanā.
  • Jūs saņemat jaudas sēriju f (x) = f (x *) + (f '(x *) / 1!) (X-x *)1+ (f "(x *) / 2!) (x-x *)2+ (f (x *) / 3! (x-x *)3+...= Σn = 0 [fn)(x *) / n!] (x-x *)n ar x * kā attīstības punktu.

Ja x * = 0, Taylor sērija pārvēršas par Mac Laurin sēriju. Mac Laurin sērija ir īpašs Taylor sērijas gadījums. Praksē Taylor sērija ir daudz plašāka nekā Mac Laurin sērija, jo ir iespējams jebkurš attīstības centrs. Labākai izpratnei un atvasināšanai tomēr ir jēga vispirms apskatīt vienkāršāko sērijas variantu.

click fraud protection