Nepareizu integrālu risināšana ir izskaidrota vienkārši
Diferenciālais un integrālais aprēķins ir daļa no ģimnāzijas augstākā līmeņa matemātikas stundām. Kā students jūs agrāk vai vēlāk sastapsieties ar tā sauktajiem nepareizajiem integrāļiem, kas atšķiras no Atšķiriet "parastos" integrāļus, taču tos nav daudz grūtāk atrisināt, izmantojot pareizos rīkus ir.
Kas ir nepareizi integrāli?
Nepareizi integrāļi ir integrāļi, kuriem no pirmā acu uzmetiena nav jāatšķiras no parastajiem integrāļiem. Labākais veids, kā vizualizēt nepareizus integrāļus, ir izveidot skici. Ja integrējat kādu funkciju, integrālis atbilst laukumam zem līknes. Bet ko darīt, ja funkcijai ir tendence sasniegt bezgalību pie integrācijas robežas?
- Tādas pašas grūtības rodas, ja apskatāmajai funkcijai ir horizontāls vai vertikāls asimptots.
- Sākumā jūs, iespējams, nepamanīsit problēmu, bet sāciet darīt integrāli, piemēram, izmanto, lai atrisinātu, tad vēlākais, kad noteiktie ierobežojumi pamanīsit, ka neesat tikt priekšā.
- Piemēram, ņemiet vērā Eilera funkciju f (x) = ex un mēģiniet tos integrēt no mīnus bezgalības līdz nullei. Ja jūs to darāt un ievietojat robežas, jūs saņemat terminu "e 0-e-∞ ", bet ko jums nozīmē šis izteiciens?
Nepareizu integrālu risināšana
- Jūs varat ļoti viegli atrisināt nepareizus integrālus, ja aizstājat "problemātisko" integrācijas ierobežojumu ar mainīgo Atrisiniet integrāli un pēc tam veiciet robežvērtību analīzi, kurā palaižat mainīgo pret sākotnējo "problēmas vērtību" atļauja.
- Iepriekš minētajā piemērā jūs atrisināt integrāli ex dx ar integrācijas ierobežojumiem u un 0. Antiderivatīvs f (x) = ex ir F (x) = ex, jo mums ir F '(x) = f (x).
- Ja tagad ievietojat integrācijas ierobežojumus, jūs iegūsit terminu e0-eu = 1-eu.
- Tagad izveidojiet robežvērtību u -> -∞. Jūs saņemat limu 1-eu = 1.
Pat gudri matemātikas cilvēki var sajaukt: neatņemamas zīmes un ...
Vēl viens nepareizu integrālu piemērs
- Funkcija g (x) = 1 / x2 jābūt integrētam intervālā no 0 līdz 1. Jūs zināt, ka funkcijai g ir pols punktā x = 0.
- Vispirms nosakiet funkcijas g antiderivatīvu ar G (x) = -1 / x.
- Apakšējai integrācijas robežai vispirms aizstājiet v ar 0, kas dod laukumam A = -1 - ( - 1 / v).
- Tagad apsveriet robežvērtību (limv-> 0) par v pret 0. Ja v virzienā uz 0, 1 / v tiecas uz + ∞, un, tā kā izteiksmes priekšā ir divas mīnus zīmes, laukums A tiecas uz bezgalību.
Redzi, nepareizu integrāļu atrisināšana nemaz nav tik grūta. Jums vienkārši jāzina, kur sākt.
