비디오: 최적의 캔
최적의 캔 - 극단값 문제
제조업체는 캔에 가능한 한 적은 재료를 사용하기를 원하며 맥주 캔은 편리해야 합니다. 그래서 그들은 어떻게해야합니까 치수 가능한 한 적은 재료가 필요하도록 0.5리터 용량의 원통형 캔을 선택해야 합니까? 그리고 제조업체는 이러한 최적의 치수를 전혀 준수합니까? 캔 선반을 보면 제조업체가 전체적으로 캔을 균일하게, 즉 동일한 높이와 직경으로 만듭니다. 선택하다. 그러나 이것은 아마도 표준 충전 기계 때문일까요? 아니면 캔이 선택한 모양으로 다루기 쉽기 때문에?
- 이러한 질문은 수학에서 확인할 수 있습니다. 간단히 말해서 작업은 다음과 같습니다. 캔 실린더에 필요한 지름(또는 반지름)과 높이 캔의 부피는 0.5 l이고 표면(재료 소모량)은 가능한 한 작게 선택하십시오. 할 것이다.
- 이것은 주요 조건(표면이 최소화되어야 함)과 보조 조건(부피는 0.5 = 500cm³임)의 극단값 문제입니다.
- 이러한 문제를 다룰 때는 먼저 주 조건과 보조 조건을 모두 방정식으로 설정해야 합니다. 이 경우 원통 원의 반지름 r과 원통의 높이 h는 두 개의 미지수(계산하려는)입니다.
- 처방집에서 실린더의 부피 V와 표면 F에 대한 공식을 조회할 수 있습니다. 원통의 표면은 두 개의 원과 직사각형(실린더 재킷)으로 구성되어 있습니다.
- 다음이 적용됩니다. V = ¶ r² * h = 500 cm³ 2차 조건 및 F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * h는 최소화해야 하는 주요 조건입니다.
- 주 조건은 처음에 두 개의 미지수 r과 h를 포함합니다. 보조 조건에서 이제 두 개의 미지수 중 하나(h는 계산하기 쉽기 때문에 유용함)를 분리하여 기본 조건에 삽입할 수 있습니다. 절차는 두 개의 방정식을 두 개의 미지수로 대체하는 것과 유사합니다. 여기에서만 당신이 그것을 가지고 기능 할 것.
- h = 500 / ¶ r²를 얻습니다(cm³는 추가 계산을 위해 제외됩니다. 그런 다음 결과를 "cm" 단위로 계산하고 이를 표면 F에 넣습니다.
- F(r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r * (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, 즉 캔의 표면은 이제 반경에만 의존한다는 것을 의미합니다.
- 작업에 따르면 표면이 최소화되어야하므로이 기능의 극한 값을 찾고 있습니다.
- 이렇게 하려면 변수 r에 따라 F(r)를 유도하고 도함수를 0으로 설정합니다.
- F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r²로 계산합니다(모르는 경우 처방집에서 1 / r의 유도를 찾을 수 있음).
- 다음은 극값에 적용됩니다. 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
- 이로부터 r³ = 250 /¶ 및 r = 4.3cm(TR의 세 번째 루트)를 계산합니다. 최소 상자의 지름은 거의 9cm입니다.
- 이제 2차 조건에서 캔의 높이 h를 계산할 수 있습니다(cf. 포인트 8.) ~ h = 8.6 cm. 따라서 직경과 높이가 일치합니다.
실린더 높이 계산
직경 또는 ...와 같은 실린더의 일부 크기를 알고 있습니다.
수학과 현실 - 결과에 대해 비판적으로 질문하기
그러나 맥주가 너비만큼 높이가 정말 이렇게 보일 수 있습니까? 일상생활은 결과와 모순된다. 수학 분명히 캔은 상대적으로 높기 때문에 더 좁고 관리하기 쉽습니다. 고객의 바람이 여기에서 전면에 있는지 여부는 불확실합니다. 그리고 다른 것을 고려해야 합니다. 맥주 캔은 500ml보다 큰 상단까지 채워지지 않습니다. 또한 이상적인 원통 형상이 당연히 주어집니다.
- 그러나 재료 소비와 관련하여 고려되지 않은 것이 있습니다. 낭비가 있습니다! 원을 자르면 생성됩니다. 다시 녹을지, 폐기할지 여부는 알 수 없다. 어쨌든 회사에 손해입니다. 아마도 당신은 이 낭비를 고려하여 최적 캔의 극단값 작업을 다시 계산할 것입니다.
- 그런 다음 표면에 두 개의 원이 필요하지 않지만 직사각형 실린더 표면에 추가로 두 개의 정사각형이 필요합니다. 이 경우의 결과는 r = 4cm이고 h = 10cm이므로 캔은 더 좁고 높아집니다. 놀랍네요!
