ვიდეო: ოპტიმალური ქილა

ოპტიმალური ქილა - ექსტრემალური ღირებულების პრობლემა

მწარმოებლებს სურთ გამოიყენონ რაც შეიძლება ნაკლები მასალა ქილაში და ლუდის ქილა უნდა იყოს მოსახერხებელი. მაშ როგორ უნდა ზომები ცილინდრული ქილა 0.5 ლ ტევადობით უნდა შეირჩეს ისე, რომ რაც შეიძლება ნაკლები მასალა იყოს საჭირო? და საერთოდ იცავს თუ არა მწარმოებლები ამ ოპტიმალურ ზომებს? ეს ამოცანა თავდაპირველად უაზროდ ჟღერს, რადგან ერთი შეხედვით თაროების თაროზე ჩანს, რომ მწარმოებლები მთლიანობაში, გააკეთეთ ქილა ერთგვაროვანი, ანუ იგივე სიმაღლე და დიამეტრი აირჩიეთ. მაგრამ ეს ალბათ მხოლოდ სტანდარტული შემავსებელი მანქანების დამსახურებაა? ან იმიტომ, რომ ქილა ადვილია გაუმკლავდეს არჩეულ ფორმას?

1. ამ კითხვების შემოწმება შესაძლებელია მათემატიკაში. მოკლედ, ამოცანაა: რა დიამეტრი (ან რადიუსი) და რა სიმაღლე გჭირდებათ ქილა ცილინდრისთვის აირჩიე ისე, რომ ქილა ინახავს 0,5 ლ მოცულობას და ზედაპირი (ეს არის მატერიალური მოხმარება) რაც შეიძლება მცირე იქნება.
2. ეს არის უკიდურესი მნიშვნელობის პრობლემა ძირითადი მდგომარეობით (ზედაპირი უნდა იყოს მინიმალური) მეორადი მდგომარეობით (მოცულობა არის 0.5 = 500 სმ³).
instagram viewer
3. ასეთ პრობლემებთან გამკლავებისას, თქვენ ჯერ უნდა შექმნათ როგორც ძირითადი, ასევე მეორადი პირობები განტოლების სახით. ამ შემთხვევაში, ცილინდრის წრის რადიუსი და ცილინდრის სიმაღლე h არის ორი უცნობი (რომლის გამოთვლაც გსურთ).
4. ფორმულაში შეგიძლიათ ნახოთ ფორმულები მოცულობის V და ცილინდრის F ზედაპირისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ცილინდრის ზედაპირი შედგება ორი წრისა და ოთხკუთხედისგან (ცილინდრის ქურთუკი).


გამოთვალეთ ცილინდრის სიმაღლე

თქვენ იცით ცილინდრის ზოგიერთი ზომა, როგორიცაა დიამეტრი ან ...

5. ვრცელდება შემდეგი: V = ¶ r² _* h = 500 სმ³, როგორც მეორადი მდგომარეობა და F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* თ, როგორც მთავარი პირობა, რომელიც უნდა იყოს მინიმალური.
6. მთავარი პირობა თავდაპირველად შეიცავს ორ უცნობ r და h. მეორადი მდგომარეობიდან შეგიძლიათ გამოყოთ ერთი ორი უცნობიდან (h სასარგებლოა, რადგან გამოთვლა უფრო ადვილია) და ჩაწეროთ მთავარ მდგომარეობაში. პროცედურა მსგავსია ორი განტოლების ორი უცნობით შეცვლის. მხოლოდ აქ გაქვს ფუნქციები კეთება.
7. თქვენ მიიღებთ h = 500 / ¶ r² (სმ³ შემდგომი გაანგარიშებისთვის გამოტოვებულია; შედეგი გამოითვლება ერთეულში "სმ") და განათავსეთ ეს ზედაპირზე F.
8. F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* (500 / ¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000 / r, ეს ნიშნავს, რომ თქვენი ქილა ზედაპირზე ახლა მხოლოდ რადიუსზეა დამოკიდებული.
9. ამოცანის მიხედვით, ზედაპირი უნდა იყოს მინიმალური, ასე რომ თქვენ ეძებთ ამ ფუნქციის უკიდურეს მნიშვნელობას.
10. ამისათვის გამოიტანეთ F (r) ცვლადის მიხედვით r და დააყენეთ წარმოებული ნულზე.
11. თქვენ გამოთვლით F '(r) = 4 ¶ r - 1000 / r² (შეგიძლიათ ნახოთ 1 / r წარმოებულობა ფორმულაში, თუ არ იცით).
12. შემდეგი ეხება ექსტრემს: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0.
13. აქედან თქვენ გამოთვლით r³ = 250 / ¶ და r = 4.3 სმ (მესამე ფესვი TR- ზე). თქვენს მინიმალურ ყუთს აქვს დიამეტრი თითქმის 9 სმ.
14. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ქილის სიმაღლე h მეორადი მდგომარეობიდან (შდრ. წერტილი 8.) h = 8.6 სმ -მდე. დიამეტრი და სიმაღლე შესაბამისად ემთხვევა.

მათემატიკა და რეალობა - კრიტიკულად კითხვის ნიშნის ქვეშ აყენებს შედეგს

შეიძლება მართლა ლუდი ასე გამოიყურებოდეს, იმდენად მაღალი, რამდენიც ფართო? ყოველდღიური ცხოვრება ეწინააღმდეგება შედეგს მათემატიკა ცხადია, ქილა შედარებით მაღალია, ასე ვიწრო და რა თქმა უნდა უფრო მართვადი. გაურკვეველი რჩება, არის თუ არა მომხმარებლის სურვილები წინა პლანზე აქ. და კიდევ რაღაც უნდა იქნას გათვალისწინებული: ლუდის ქილა არ ივსება ზევით, ანუ 500 მლ -ზე მეტი. გარდა ამისა, რა თქმა უნდა, მოცემულია ცილინდრის იდეალური ფორმა.

• თუმცა, მატერიალურ მოხმარებასთან დაკავშირებით რაღაც არ იყო გათვალისწინებული: არის ნარჩენები! ის იქმნება წრეების გაჭრისას. უცნობია კვლავ დაიშლება თუ განადგურდება. ნებისმიერ შემთხვევაში, ეს არის კომპანიის ზარალი. ალბათ, თქვენ ხელახლა გამოთვლით ოპტიმალური ქოთნის უკიდურესი მნიშვნელობის ამოცანას ამ ნარჩენების გათვალისწინებით.
• მაშინ ზედაპირისთვის არ გჭირდებათ ორი წრე, არამედ მართკუთხა ცილინდრის ზედაპირის გარდა ორი კვადრატი. ამ შემთხვევის შედეგი არის r = 4 სმ და h = 10 სმ, ამიტომ ქილა ვიწრო და მაღალი ხდება. ეს გასაოცარია!