მოკლე განმარტებით განტოლებათა ხაზოვანი სისტემების გაუსის ალგორითმი

Რა გჭირდება:

• გადაწყვეტის სქემა
• ძირითადი მათემატიკური ცოდნა
• კალამი
• ქაღალდი

საინტერესო ფაქტები ხაზოვანი განტოლების სისტემების შესახებ

თუ თქვენ დაყოფთ ტერმინს "ხაზოვანი განტოლების სისტემა" ცალკეულ ცალკეულ სიტყვის კომპონენტებად, თქვენ მიიღებთ მარტივ წარმოდგენას, თუ რა არის LGS.

• LGS შედგება რამდენიმე წრფივისგან განტოლებები, რომელშიც სხვადასხვა თავდაპირველად უცნობი პარამეტრები ხდება. ხაზოვანი ნიშნავს, რომ პარამეტრები არ არის რომელიმეში პოტენციალები შესაბამისად ფესვი კლების მაგალითად, განტოლება x₁+ 2x₂² = 3 არ შეიძლება იყოს განტოლებათა ხაზოვანი სისტემის ნაწილი, ვინაიდან პარამეტრი x₂ ხდება მეორე ძალაში.
• სხვადასხვა განტოლება შეიძლება შეიქმნას მოდელირებით ან უბრალოდ მოცემულია ამოცანაში. მაგალითი: სატვირთო მანქანის მიწოდებისას სამი ნაწილი (x
  instagram viewer
  ₁, x₂, x₃) მიწოდება, რომელიც ფასებს გვ₁ = 1 ევრო, გვ₂ = 2 ევრო და გვ₃ = აქვს 3 ევრო. მიწოდების საერთო ღირებულებაა 1000 ევრო. ეს ინფორმაცია შეიძლება შეჯამდეს განტოლებაში 1x₁+ 2x₂+ 3x₃ = 1,000, სადაც x₁, x₂ და x₃ შეესაბამება სამი ნაწილის თავდაპირველად უცნობ რაოდენობებს.
• ამ გზით შეიძლება შეიქმნას შემდგომი განტოლებები. ამ მაგალითში, ნაწილების სივრცის მოთხოვნები და სატვირთო მანქანის მოცულობა წარმოსადგენია.
• მას შემდეგ, რაც შეიქმნა ყველა წრფივი განტოლება, LGS შეიძლება გადაწყდეს, ანუ უცნობი პარამეტრის x განსაზღვრა₁, x₂ და x₃. სწორედ აქ გამოდის გაუს ალგორითმი, რომლითაც შეგიძლიათ LGS– ის ეტაპობრივად გადაჭრა მკაფიოდ განსაზღვრული სქემის მიხედვით.


ხაზოვანი ოპტიმიზაციის მარტივი მეთოდი უბრალოდ განმარტებულია

ხაზოვანი ოპტიმიზაცია ეხება მწირი რესურსების ოპტიმალურ განაწილებას ...

• ხაზოვანი განტოლების სისტემის ამოხსნის სამი ვარიანტი არსებობს. თუ თქვენ ხართ ცოტა უფრო გამოცდილი, თქვენ უკვე ნახავთ გადაწყვეტის სქემის გამოყენებამდე აქვს თუ არა LGS ერთი, არა ან უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები.
• LGS ორი განტოლებით x₁+ x₂ = 1 და x₁+ 2x₂ მაგალითად, = 1 – ს არ აქვს გამოსავალი, რადგან ორივე განტოლება ერთდროულად ვერ დაკმაყოფილდება. არსებობს ზუსტად ერთი გამოსავალი, თუ უცნობი პარამეტრების რაოდენობა უტოლდება განტოლებათა რაოდენობას, არ არსებობს წინააღმდეგობა და ყველა განტოლება (თითოეული წყვილში) არის წრფივად დამოუკიდებელი. LGS– ს კუთვნილი მატრიცის რანგი ზუსტად უტოლდება უცნობების რაოდენობას. თუ წოდება უფრო მცირეა, უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია (იხ. მაგალითი).

გაუსის ალგორითმის გამოყენების მაგალითი

1. პრობლემის მოდელირებით, თქვენ გაქვთ სამი განტოლება 2x₁+ x₂-3x₃ = 6, x₁-2x₂-x₃ = 2 და -4x₁-2x₂+ 6x₃ = -12 შეიქმნა.
2. ახლა ჩაწერეთ ეს სამი განტოლება ერთმანეთის ქვემოთ. გაუსის ალგორითმის გამოყენებისას თქვენ თანდათანობით გამორიცხავთ ცვლადებს. მათ იციან, რომ ელემენტარული ხაზის გარდაქმნები არ ცვლის გადაწყვეტის სივრცეს.
3. ახლა ჩაწერეთ პირველი განტოლება უცვლელი. გაამრავლეთ მეორე და მესამე განტოლებები ისე, რომ როდესაც პირველ რიგში დაემატება, ამ ახალ განტოლებებს არ ექნებათ x₁ შეიცავდეს მეტს ასე რომ თქვენ გაამრავლებთ მეორე განტოლებას -2 –ზე (x– ის გამო₁ მეორე განტოლებაში და 2x₁ პირველ განტოლებაში) და დაამატეთ ისინი პირველ ხაზს. ანალოგიურად, გაყავით მესამე განტოლება ორზე და დაამატეთ იგი პირველ განტოლებას.
4. შემდეგ ეტაპზე თქვენ გაქვთ ორი განტოლება, რომელშიც მხოლოდ x პარამეტრები₂ და x₃ ამოდის. ახლა ჩამოწერეთ მეორე განტოლება და გაამრავლეთ მესამე განტოლება ისე, რომ მეორე განტოლებას რომ დაემატოს, x₂ აღმოფხვრილია. თუ გქონდათ სხვა განტოლებები, განაგრძეთ იგივე გზა.
5. ბოლო განტოლებაში თქვენ გაქვთ მხოლოდ ცვლადი x₃ რომ თქვენ ახლა შეგიძლიათ განსაზღვროთ. შედეგის სხვა ორ განტოლებაში ჩართვა გაძლევთ მნიშვნელობებს x- ისთვის₂ და x₁.
6. ამ მაგალითში, თუმცა არის განსაკუთრებული შემთხვევა. მე –3 საფეხურზე, თუ თქვენ გაყოფთ მესამე განტოლებას 2 – ზე და დაამატებთ მას პირველ განტოლებას, მიიღებთ მხოლოდ 0x –ს₁+ 0x₂+ 0x₃ = 0. ამის მიზეზი მარტივია: განტოლება 1 და განტოლება 3 წრფივად არის დამოკიდებული, რადგან მესამე განტოლება მიიღება პირველი განტოლების -2 გამრავლებით.
7. თქვენ შეგიძლიათ გადალახოთ ნულოვანი ხაზი და იცოდეთ, რომ წოდება არის მხოლოდ 2 და LGS აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები, იმ პირობით, რომ არ არსებობს წინააღმდეგობა.
8. 3 და 6 ნაბიჯების შემდეგ თქვენ გაქვთ ორი განტოლება 2x₁+ x₂-3x₃ = 6 და 5x₂-x₃ = 2. თქვენ გაქვთ თავისუფლების ხარისხი. ასე რომ, მიეცით x₁ და x₂ დამოკიდებულია x- ზე₃ და შენ იქ ხარ
9. მეორე განტოლება გულისხმობს x- ს₂ = 2/5 + 1 / 5x₃.
10. თუ დააყენებ x- ს₂ პირველ განტოლებაში მივიღებთ: 2x₁+ 2/5 + 1 / 5x₃-3x₃ = 6. რეზოლუცია x- ზე₁ შედეგად: x₁ = 14/5 + 7 / 5x₃.
11. ამრიგად, ამონახსნის სივრცე გვაძლევს L = {(14/5 + 7 / 5x₃; 2/5 + 1 / 5x₃; x₃)} მიუთითეთ. არსებობს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები. X- ისთვის₃ = 1, მაგალითად, ხსნარი (21/5; 3/5; 1). როგორც ტესტი, შეგიძლიათ შეაერთოთ ეს გამოსავალი ორიგინალურ განტოლებებში და ნახავთ, რომ ეს გადაწყვეტა სინამდვილეში არის LGS- ის გადაწყვეტა.

გაუშვით გაუსის ალგორითმი შემდგომ მაგალითებში მისი ინტერნალიზაციისთვის. თქვენ შეგიძლიათ თავად განსაზღვროთ რიცხვითი მნიშვნელობები.